La prueba de que un Hermitian Matriz ortogonal de vectores propios, real autovalores

Question

Aquí está mi débil intento:

A = a* es la condición para una Hermitian de la matriz. Así que trate de ampliar ambos lados en términos de su enfermedad vesicular porcina:

A = USV* y a* = (USV*)* = ... = UEV*

Así la equiparación de la que obtengo:

VSU* = USV*

Ahora, tal vez a través de esto puedo concluir algo acerca de cómo V y U se relacionan entre sí, pero no sé cómo...

Gracias por la ayuda.

Answer 1

El proceso es bastante sencillo dado el hecho de que cualquier matriz cuadrada tiene al menos un autovalor y autovector.

Supongamos $Ax = \lambda x$. A continuación,$\langle x , Ax \rangle = \langle Ax , x \rangle = \overline{\langle x , Ax \rangle} = \lambda \|x\|^2$, por lo tanto $\lambda \in \mathbb{R}$.

El punto acerca de ser Hermitian es que si $x$ es un autovector de a$A$, $\text{sp} \{x\}$ y el subespacio $\{x\}^\bot$ son invariantes bajo $A$. Para ver el último, supongamos $v \bot x$,$\langle x , Av \rangle = \langle Ax , v \rangle = \lambda \langle x , v \rangle = 0$, por lo tanto $A v \bot x$. Ahora vamos a $v_k$ ser una base para $\{x\}^\bot$, luego en la base $x, v_1,...,v_k$, $A$ debe tener un bloque diagonal de la forma: $$A \sim \begin{bmatrix} \lambda & \\ & \tilde{A}\end{bmatrix}$$ (Por $\sim$ me refiero a que las dos matrices son similares). Ahora se encuentra un autovalor de a $\tilde{A}$ (que también debe ser Hermitian) y repetir el proceso hasta que $A$ es diagonalized.

Answer 2

Un camino más eficiente es considerar la descomposición de Schur, $A=QTQ^*$ donde $T$ es triangular superior y $Q$ es unitaria. Tenga en cuenta que la diagonal de $T$ se compone de los autovalores de a $A$. La igualdad de $A^*=A$$QTQ^*=QT^*Q^*$, de donde se deduce $T=T^*$. Como $T$ es triangular superior y $T^*$ es inferior triangular, conseguimos que los $T$ es diagonal. Por otra parte, como la diagonal de $T^*$ es el conjugado de la de $T$ y son iguales, tenemos que los autovalores de a $A$ son reales.

Los subespacios propios de a $T$ son ortogonales entre sí (fácil de ver desde $T$ es la diagonal). Pero $Q$ es de los subespacios propios de a $T$ a los subespacios propios de a $A$, por lo que estos tienen que ser pares ortogonal.

Answer 3

Utilice el autovalor de la descomposición de la hermitian matriz $A$.

$A=S \Lambda S^{-1}$

$A^H = (S \Lambda S^{-1})^{H}$

$A^H = ( S^{-1})^{H} \Lambda^H S^H$

Dado que todos los valores propios de una hermitian de la matriz son reales, $\Lambda = \Lambda^H$, y desde $A$ es hermitian tenemos

$S \Lambda S^{-1} = ( S^{-1})^{H} \Lambda S^H$

Esta muestra $S^{-1}=S^H$ lo que implica $SS^H=I$ como se requiere.