Estoy estudiando el análisis funcional y he visto el de Banach-Steinhaus teorema.
Para empezar, la motivación que se dio fue la pregunta acerca de cuándo $\{T_{\alpha}\}_{\alpha\in A}$ están delimitadas por $M$ (aquí el lineal de operadores se $T_{\alpha}:X\to Y$).
La prueba fue:
Definir $$ F_{n}:=\{x\in X\mid||T_{\alpha}x||\leq n\,\forall\alpha\} $$
A continuación, por la suposición de que los operadores son pointwise delimitada tenemos $$ X=\cup_{n}F_{n} $$
Por categoría de Baire teorema no es $n$ s.t $F_{n}$ contiene una bola $B_{\epsilon}^{X}(x_{0})$.
Pick $\alpha$. $$ T_{\alpha}(B_{\epsilon}^{X}(x_{0})-B_{\epsilon}^{X}(x_{0}))\subseteq B_{2n}^{Y}(0) $$
Por lo tanto $$ ||T_{\alpha}||\leq2n\cdot\frac{1}{\epsilon} $$
Por favor alguien puede explicar el "por tanto" de la parte al final ?
Así que todos los $T_{\alpha}$ mapa de algún subconjunto de $X$ a un almacén de bola de un radio fijo $2n$, ¿cómo hemos enlazado $T_{\alpha}$ todos los $x\in X$ ?
