El concepto de números negativos en el axioma de campo $4^{th}$

Question

Acabo de empezar a trabajar, mi forma de artesa "Análisis Matemático", $2^{nd}$ Edición por Apostol. Estoy leyendo cada detalle con mucho cuidado para tratar de obtener un conocimiento riguroso. El $4^{th}$ axioma en ese libro (uno de los de campo axiomas de los estados):

• Dado cualquiera de los 2 números reales $x$$y$, existe un número real $z$ tal que $x + z = y$. Esta $z$ se denota por a $y - x$; la cantidad de $x - x$ is denoted by $0$. (It can be proved that $0$ is independent of $x$.) We write $-x$ for $0 - x$ and call $-x$ the negative of $x$.

Mi pregunta: Es $y-x$ ya supone ser $y+(-x)$, o debo tomar $y-x$ simplemente como un conjunto de símbolos, por ahora, sólo representa el número de $z$? Esto es un poco confuso, porque sólo hemos asumido la existencia de la adición y la multiplicación operador. (Por favor, trate de abstenerse de usar demasiado conjunto de la notación en las respuestas, ya que no estoy familiarizado con él.)

Yo creo que si me puede interpretar $y-x$$y + (-x)$, (creo?) podemos demostrar que la negativa de $x$ es un número que se podría añadir a $x$ con el fin de obtener $0$:

Por el axioma 4, siempre hay un $z$ tal que

$x + z = y$

Que $z$ se denota como $y + (-x)$

Deje $y = 0$

$z = 0 - x$

$z = -x$

Answer 1

No se supone que ya $$y - x = y + (-x)$$ porque no se necesita ser asumido-puede ser demostrado a partir de los otros axiomas.

Cómo interpreta usted es usted. Estás en lo correcto de que es sólo un "todo símbolo" por ahora representa el número de $z$ que podemos asumir que existe. También puede interpretarse como una definición para el operador de resta: Implícitamente que el autor está diciendo: "definimos el operador $-$, que cuando se aplica a $y$ $x$ nos da $y-x$, un número real tal que $x + (y-x)=y$"

Así que sí, es de hecho una definición para $-$, y es también un símbolo. $+$ es sólo un símbolo, $\times$ es sólo un símbolo, y $-$ es también un símbolo.

La tentación de asumir automáticamente que $y-x=y+(-x)$ proviene de ya estar familiarizado con los números reales, pero es de suponer que puede haber otros sistemas de números, y otras maneras de interpretar $+$$\times$, de tal manera que este sistema satisface todos los axiomas que fueron dados, pero tal que $y-x\neq y+(-x)$. Resulta imposible debido a $y-x=y+(-x)$ es una consecuencia lógica de los otros axiomas, pero es al menos concebible.

Una prueba de que $y-x=y+(-x)$ sería como sigue: Por definición, tenemos que $$x + (y-x) = y$$ para cualquier $x$$y$. De la propiedad conmutativa, tenemos que $$(y-x) + x = y$$ Agregar $(-x)$ a cada lado para obtener $$((y-x) + x) + (-x) = y + (-x)$$ El uso de la asociatividad para darnos $$(y-x) + (x + (-x)) = y + (-x)$$ $(-x)$ es lo mismo que $(0-x)$, e $x + (0-x)=0$, por definición, por lo que $$(y - x) + 0 = y + (-x)$$ Presumiblemente uno de los axiomas definen $0$ por la propiedad de que la $a+0=a$ todos los $a$, y así $$y - x = y + (-x)$$ Que es lo que queríamos demostrar.

Ya no hay nada de malo con la interpretación de $y-x$ a la media de $y+(-x)$ ya que hemos comprobado que es verdad. El libro fue sólo un aviso de que no se debe asumir por lo que a priori sólo a causa de los símbolos que nos pasó a utilizar y el porque de sus familiares interpretación de los números reales. Podríamos haber escogido algún otro símbolo a utilizar en lugar de$-$$y-x$, y una completamente diferente símbolo de $-$$-x$.

El autor, además, no tienen que asumir el axioma de que para cualquier $x$$y$, hay un número de $z$ tal que $x+z=y$. Es suficiente para suponer que para cualquier $x$, hay un número de $-x$ tal que $x+(-x)=0$. Entonces, uno puede demostrar que para cualquier $x$$y$, hay un $z$ tal que $x+z=y$ dejando $z=y+(-x)$ y mostrando que esta $z$ tiene la propiedad deseada.

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edit: A la dirección de algunas de sus otras preguntas:

La prueba está bien para mostrar que $-x$ es un número que puede ser añadido a $x$ dar $0$. Usted incluso no necesita ese $y-x=y+(-x)$, debido a $0-x=-x$ fue la definición de $-x$, por lo que no necesita probar que $0-x=-x$. Usted puede simplemente decir que por supuesto, hay un número de $0-x$ tal que $$x + (0-x)=0$$ y, por definición, $(0-x)=-x$, y así $$x + (-x) = 0$$

Esto es mejor que tratar de razonar, de manera que desde asumiendo $y-x=y+(-x)$, ya que mi prueba, al menos, utiliza el hecho de que $x+(-x)=0$ a demostrar que $y-x=y+(-x)$, y por lo que se corre el riesgo de tener un argumento circular.

Para abordar la pregunta acerca de la singularidad de $z$, supongamos que hay dos números de $z_1$$z_2$, de forma que ambos $$x + z_1 = y$$ y $$x + z_2 = y$$

Entonces $$x + z_1 = z + z_2$$ y así conmutatividad nos da $$z_1 + x = z_2 + x$$ La adición de $(-x)$ a cada lado, obtenemos $$(z_1 + x) + (-x) = (z_2 + x) + (-x)$$ Por la asociatividad, nos encontramos con $$z_1 + (x+(-x)) = z_2 + (x+(-x))$$ y así $$z_1 + 0 = z_2 + 0$$ y por lo tanto $$z_1 = z_2$$

Así que cualquiera de los dos candidatos para el número de $z$ debe ser igual, y por lo $z$ es único.