No se supone que ya
$$y - x = y + (-x)$$
porque no se necesita ser asumido-puede ser demostrado a partir de los otros axiomas.
Cómo interpreta usted es usted. Estás en lo correcto de que es sólo un "todo símbolo" por ahora representa el número de $z$ que podemos asumir que existe. También puede interpretarse como una definición para el operador de resta: Implícitamente que el autor está diciendo: "definimos el operador $-$, que cuando se aplica a $y$ $x$ nos da $y-x$, un número real tal que $x + (y-x)=y$"
Así que sí, es de hecho una definición para $-$, y es también un símbolo. $+$ es sólo un símbolo, $\times$ es sólo un símbolo, y $-$ es también un símbolo.
La tentación de asumir automáticamente que $y-x=y+(-x)$ proviene de ya estar familiarizado con los números reales, pero es de suponer que puede haber otros sistemas de números, y otras maneras de interpretar $+$$\times$, de tal manera que este sistema satisface todos los axiomas que fueron dados, pero tal que $y-x\neq y+(-x)$. Resulta imposible debido a $y-x=y+(-x)$ es una consecuencia lógica de los otros axiomas, pero es al menos concebible.
Una prueba de que $y-x=y+(-x)$ sería como sigue:
Por definición, tenemos que
$$ x + (y-x) = y$$
para cualquier $x$$y$. De la propiedad conmutativa, tenemos que
$$ (y-x) + x = y $$
Agregar $(-x)$ a cada lado para obtener
$$ ((y-x) + x) + (-x) = y + (-x)$$
El uso de la asociatividad para darnos
$$ (y-x) + (x + (-x)) = y + (-x)$$
$(-x)$ es lo mismo que $(0-x)$, e $x + (0-x)=0$, por definición, por lo que
$$ (y - x) + 0 = y + (-x) $$
Presumiblemente uno de los axiomas definen $0$ por la propiedad de que la $a+0=a$ todos los $a$, y así
$$ y - x = y + (-x) $$
Que es lo que queríamos demostrar.
Ya no hay nada de malo con la interpretación de $y-x$ a la media de $y+(-x)$ ya que hemos comprobado que es verdad. El libro fue sólo un aviso de que no se debe asumir por lo que a priori sólo a causa de los símbolos que nos pasó a utilizar y el porque de sus familiares interpretación de los números reales. Podríamos haber escogido algún otro símbolo a utilizar en lugar de$-$$y-x$, y una completamente diferente símbolo de $-$$-x$.
El autor, además, no tienen que asumir el axioma de que para cualquier $x$$y$, hay un número de $z$ tal que $x+z=y$. Es suficiente para suponer que para cualquier $x$, hay un número de $-x$ tal que $x+(-x)=0$. Entonces, uno puede demostrar que para cualquier $x$$y$, hay un $z$ tal que $x+z=y$ dejando $z=y+(-x)$ y mostrando que esta $z$ tiene la propiedad deseada.
edit: A la dirección de algunas de sus otras preguntas:
La prueba está bien para mostrar que $-x$ es un número que puede ser añadido a $x$ dar $0$. Usted incluso no necesita ese $y-x=y+(-x)$, debido a $0-x=-x$ fue la definición de $-x$, por lo que no necesita probar que $0-x=-x$. Usted puede simplemente decir que por supuesto, hay un número de $0-x$ tal que
$$x + (0-x)=0$$
y, por definición, $(0-x)=-x$, y así
$$ x + (-x) = 0 $$
Esto es mejor que tratar de razonar, de manera que desde asumiendo $y-x=y+(-x)$, ya que mi prueba, al menos, utiliza el hecho de que $x+(-x)=0$ a demostrar que $y-x=y+(-x)$, y por lo que se corre el riesgo de tener un argumento circular.
Para abordar la pregunta acerca de la singularidad de $z$, supongamos que hay dos números de $z_1$$z_2$, de forma que ambos
$$ x + z_1 = y $$
y
$$ x + z_2 = y $$
Entonces
$$ x + z_1 = z + z_2 $$
y así conmutatividad nos da
$$ z_1 + x = z_2 + x $$
La adición de $(-x)$ a cada lado, obtenemos
$$ (z_1 + x) + (-x) = (z_2 + x) + (-x) $$
Por la asociatividad, nos encontramos con
$$ z_1 + (x+(-x)) = z_2 + (x+(-x)) $$
y así
$$ z_1 + 0 = z_2 + 0 $$
y por lo tanto
$$ z_1 = z_2 $$
Así que cualquiera de los dos candidatos para el número de $z$ debe ser igual, y por lo $z$ es único.
