Incrustar$\aleph_1$ en$\mathbb R$

Question

Tengo problemas para probar que no se puede construir un mapa que preserve la orden de$\aleph_1$ a$\mathbb R$.

Sé que$\aleph_1$ es igual al conjunto de ordinales contables, pero el hecho de que el mapa no tenga que ser surjective ha hecho esto más complicado de lo que pensaba.

¿Hay alguna prueba relativamente elemental por ahí?

Answer 1

Deje$\omega_1$ ser el primer ordinal incontable. Supongamos que está incrustado en$\Bbb R$. Cada$\alpha\in\omega_1$% tiene un sucesor$\alpha'$ en$\omega_1$. Entre$\alpha$ y$\alpha'$ en$\Bbb R$ hay un número racional$c_\alpha$. Todos los$c_\alpha$ son distintos, y los racionales son contables ....