Evaluación del valor máximo sin cálculo

Question

$x$, $y$, $z$ son números no negativos.
$x+y+z=3$

Encontrar el valor máximo de $~$ $x^{2}y+y^{2}z+z^{2}x$ $~$ sin cálculo.

Answer 1

en general

Si $x,y,z\ge 0$ y el tal $x+y+z=3$, entonces tenemos $$x^ky+y^kz+z^kx\le\max{{3,\dfrac{3^{k+1}k^k}{(k+1)^{k+1}}}}$ $

$k=2$ tengo buen métodos

con pérdida de que $x=\max{(x,y,z)}$

luego utilizamos la desigualdad de Benoulli, tenemos $$(1+\dfrac{z}{x})^2\ge 1+\dfrac{2z}{x}$ $ % que $$(x+z)^2y=x^2y(1+\frac zx)^2\ge x^2y(1+\dfrac{2z}{x})=x^2y+xyz+xyz\ge x^2y+y\cdot yz+xz^2$$ así $$x^2y+y^2z+z^2x\le (x+z)^2y=2^2\left(\dfrac{x+z}{2}\right)^2\cdot y\le 2^2\left(\dfrac{x+z+y}{3}\right)^3=4$ $