¿Ha encontrado alguna vez el siguiente mapa? $$x_{n+1}=T(x_n), x\in[0,1]$$ donde $$T(x)= \begin{cases} \frac{x}{1-x} & x\leq 1/2 \\ 1-\frac{1-x}{x} & x> 1/2 \end{cases} $$ Una rápida exploración sugiere que este mapa es caótico, pero en el caso de que este mapa esté bien estudiado podría aprovechar lo que ya se sabe. Muchas gracias.
[EDIT] He encontrado que este mapa es conocido como el Mapa de Farey modificado . Por si a alguien le interesa, la siguiente referencia lo menciona: C. Bonanno y S. Isola, Orderings of the rationals and dynamical systems, Coloquio de Matemáticas 116, 2 (2009).
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Nunca he visto el mapa (creo), pero permítanme anotar lo que se puede decir de inmediato: es topológicamente conjugado a $2x\bmod1$ y tiene una medida invariante absolutamente continua (debido al claro control de las derivadas primera y segunda). La única cuestión no trivial es encontrar la conjugación explícitamente, entonces todo se sigue.
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Gracias John B. Curiosamente, la función que conjuga T(x) con el mapa de duplicación 2x mod1 es la función signo de interrogación de Minkowski ?(x)
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He visto la variación en la que el segundo caso es sólo $(1-x)/x$ para que sea continua. En esa forma es conjugado con el mapa de la tienda, a $4x(1-x)$ etc. y el itinerario de la órbita de $x$ cuenta la fracción continua para $x$ de alguna manera que es fácil de ver con un par de ejemplos, pero ahora mismo no lo recuerdo.
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Puede -me atrevo a decir que debe- responder a su propia pregunta. Puede ayudar a la visibilidad para futuros buscadores
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Sí, es cierto. Por favor, no respondas a las preguntas (ni siquiera a las tuyas) en una edición. Publica un auto-respuesta en su lugar.
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Lo siento, ahora he añadido una respuesta.