Estoy tratando de demostrar que para $0<x<1$, $$\color{blue}{\ln{\Gamma(x)}=\frac{1}{2}\ln(2\pi)+\sum^\infty_{n=1}\left\{\frac{1}{2n}\cos(2\pi nx)+\frac{\gamma+\ln(2\pi n)}{n\pi}\sin(2\pi nx)\right\}}$$ Es bastante sencillo para calcular los $a_0$ y $a_n$. $a_0$ es \begin{align} a_0 =2\int^1_0\ln{\Gamma(x)}\ {\rm d}x =\int^1_0\ln\left(\frac{\pi}{\sin(\pi x)}\right)\ {\rm d}x =\ln(2\pi)\\ \end{align} Como para $a_n$, \begin{align} a_n =&2\int^1_0\ln{\Gamma(x)}\cos(2\pi nx)\ {\rm d}x =\int^1_0\ln\left(\frac{\color{grey}{\pi}}{\sin(\pi x)}\right)\cos(2\pi nx)\ {\rm d}x\\ =&-\frac{1}{\pi}\int^\pi_0\ln(\sin{x})\cos(2nx)\ {\rm d}x =\frac{1}{4n\pi}\int^\pi_{-\pi}\frac{\sin(2nx)\cos(x)}{\sin{x}}\ {\rm d}x \end{align} Si el nombre de los restantes integral de la $\mathcal{I}_n$, es fácil ver que $\mathcal{I}_{n+1}-\mathcal{I}_n=0$. Por lo tanto $\mathcal{I}_n=\mathcal{I}_1=2\pi$, y $$a_n=\frac{2\pi}{4n\pi}=\frac{1}{2n}$$ Sin embargo, tengo problemas para el cálculo de $b_n$ y demostrando que $$\color{red}{2\int^1_0\ln{\Gamma(x)}\sin(2n\pi x)\ {\rm d}x=\frac{\gamma+\ln(2n\pi)}{\pi n}}$$ La única idea que se me ocurre es utilizar la serie representación de $\ln{\Gamma(x)}$ \begin{align} \ln{\Gamma(x)} =&-\gamma x-\ln{x}+\sum^\infty_{k=1}\left\{\frac{x}{k}-\ln\left(1+\frac{x}{k}\right)\right\}\\ =&-\gamma x-\ln{x}+\sum^\infty_{m=2}\frac{(-1)^m\zeta(m)}{m}x^m \end{align} y multiplicar todo por $\sin(2n\pi x)$ luego integrar término a término. Sin embargo, llegando al resultado final de la utilización de este método, definitivamente, parece ardua. Por lo tanto, le pido su ayuda en la evaluación de la integral en rojo. La ayuda será muy apreciada. Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Variable aleatoria amablemente ha señalado que la integral ha sido evaluado por Cody en este sitio. Aquí es un método ligeramente diferente de evaluar esta integral.
Comenzar con el infinito representación de los productos de la función gamma. \begin{align} \Gamma(x)=\frac{e^{-\gamma x}}{x}\prod^\infty_{k=1}e^\frac{x}{k}\left(1+\frac{x}{k}\right) \end{align} Tomar el logaritmo y multiplicar todo por $\sin(2n\pi x)$. \begin{align} \ln{\Gamma(x)}\sin(2n\pi x)=-(\gamma x+\ln{x})\sin(2n\pi x)+\sum^\infty_{k=1}\left\{\frac{x}{k}-\ln\left(1+\frac{x}{k}\right)\right\}\sin(2n\pi x) \end{align} La integración de la no-suma de los términos de$0$$1$, \begin{align} \int^1_0(-\gamma x-\ln{x})\sin(2n\pi x)\ {\rm d}x =&\frac{\gamma}{2n\pi}+\frac{\ln{x}\cos(2n\pi x)}{2n\pi}\Bigg{|}^1_0-\int^1_0\frac{\cos(2n\pi x)}{2n\pi x}{\rm d}x\\ =&\frac{\gamma}{2n\pi}+\left[\frac{\ln{x}\cos(2n\pi x)-{\rm Ci}(2n\pi x)}{2n\pi}\right]^1_0\\ =&\frac{\gamma-{\rm Ci}(2n\pi)}{2n\pi}-\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\ln{\epsilon}-{\rm Ci}(2n\pi \epsilon)}{2n\pi}\\ =&\frac{\gamma-{\rm Ci}(2n\pi)}{2n\pi}-\lim_{\epsilon\to 0}\frac{\ln{\epsilon}-\ln(2n\pi)-\ln{\epsilon}-\gamma+\mathcal{O}(\epsilon)}{2n\pi}\\ =&\frac{2\gamma+\ln(2n\pi)-{\rm Ci}(2n\pi)}{2n\pi} \end{align} Integrar el resto de los términos de$0$$1$. \begin{align} &\int^1_0\sum^\infty_{k=1}\left\{\frac{x}{k}-\ln\left(1+\frac{x}{k}\right)\right\}\sin(2n\pi x)\ {\rm d}x\\ =&-\frac{1}{2n\pi}\sum^\infty_{k=1}\left\{\frac{1}{k}+{\rm Ci}(2n\pi k+2n\pi)-{\rm Ci}(2n\pi k)-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\right\}\\ =&-\frac{1}{2n\pi}\left[\sum^\infty_{k=1}\left\{\frac{1}{k}-\ln\left(1+\frac{1}{k}\right)\right\}+\lim_{N\to\infty}\left(\sum^{N+1}_{k=2}{\rm Ci}(2n\pi k)-\sum^{N}_{k=1}{\rm Ci}(2n\pi k)\right)\right]\\ =&-\frac{1}{2n\pi}\left[\gamma+\lim_{N\to\infty}\left({\rm Ci}(2n\pi+2n\pi N)-{\rm Ci}(2n\pi)\right)\right] =\frac{{\rm Ci}(2n\pi)-\gamma}{2n\pi} \end{align} La adición de ellos juntos, \begin{align} \color{red}{\int^1_0\ln{\Gamma(x)}\sin(2n\pi x)\ {\rm d}x}=\frac{2\gamma+\ln(2n\pi)-{\rm Ci}(2n\pi)+{\rm Ci}(2n\pi)-\gamma}{2n\pi}\color{red}{=\frac{\gamma+\ln(2n\pi)}{2n\pi}} \end{align} Estoy deseando ver más limpio y más interesantes aproximaciones a este integral.
Como un aparte, me derivados que $$\int^1_0\psi_0(x+a)\sin(2n\pi x)={\rm Si}(2an\pi)-\frac{\pi}{2}$$ No está realmente relacionado con el problema, sin embargo.
