Pi = C / D (circunferencia / diámetro) . He leído que si la circunferencia puede ser expresada como un entero, el diámetro no puede y viceversa, por lo que la relación nunca puede ser expresada como a/b donde ambos a,b son enteros y por lo tanto Pi es irracional. Sin embargo, hasta donde yo sé, un cociente de dos decimales siempre puede expresarse como un cociente de dos enteros añadiendo un 0 después del decimal. Por ejemplo, 56,89 / 23 siempre puede escribirse como 5689/2300. Por lo tanto, siempre deberíamos poder expresar C/D como números enteros. ¿Por qué entonces Pi es irracional? ¿No podemos medir siempre el diámetro y la circunferencia con precisión y expresarlos como enteros en la proporción?
Esta pregunta ya tiene respuestas:
- ¿Por qué es $\pi$ irracional si se representa como $C/D$ ? (2 respuestas )
Respuestas
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kerchee
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Hay dos respuestas posibles, dependiendo de cuál de los dos puntos posibles le confunda:
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No es cierto que un cociente de dos "decimales" cualesquiera pueda expresarse como un cociente de dos enteros, si por "decimal" se entiende realmente cualquier expansión decimal en absoluto. El problema es básicamente que algunas expansiones decimales son infinitas, por lo que tu idea de multiplicar por una potencia de diez para despejar el punto decimal no siempre funciona. Sólo funciona para expresiones decimales finitas.
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Si ya sabe que su idea sólo funciona para finito expansiones decimales, quizás no te das cuenta de que no sólo no puedes encontrar nunca un círculo tal que ambos $C$ y $D$ son enteros, en realidad no se puede encontrar un círculo tal que ambos $C$ y $D$ tienen expansiones decimales finitas.
Rod
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11
Un número real es racional si es el cociente de dos enteros. En caso contrario, se denomina irracional.
Si $D$ es el diámetro del círculo, entonces $C= \pi D$ es su circunferencia. Si $\pi$ es irracional y $D$ racional, entonces $C$ es irracional. Si fuera racional, entonces $C/D = \pi$ sería racional.
"Dando la vuelta al argumento": Sabemos que la circunferencia de un círculo con diámetro racional es siempre irracional. Por lo tanto $C/D = \pi$ es irracional. Si fuera racional, entonces $C = \pi D$ también lo sería.
Así que con respecto a su última pregunta:
No se puede medir tanto el diámetro como la circunferencia de un círculo con una precisión arbitraria. Al menos uno de ellos es irracional y, por tanto, no tiene una representación como cociente de dos enteros.
La cuestión parece reducirse a esto: "¿No podemos medir siempre el diámetro y la circunferencia con precisión ?"
Supongamos que nos dan un círculo cuya circunferencia es $C = 10.123456789 12345678 1234567 12345678 123456789 23456789 1$ o $C = 10.123456789 12345678 1234567 12345678 123456789 23456789 2$ . ¿Cómo medirías la circunferencia para determinar cuál de las dos ecuaciones es verdadera? ecuaciones es verdadera?
En la práctica, ni siquiera se puede medir un objeto en la vida real con tanta precisión que se pueda dar a su tamaño una expansión decimal finita exacta con la certeza de que no puede ser ningún otro decimal finito. La alternativa es utilizar las matemáticas para determinar qué $C$ debería ser, idealmente, para un determinado $D$ . Si se comienza con un decimal finito $D$ y hacer las matemáticas correctamente, sin embargo, nunca llegará al último dígito de $C$ , por lo que nunca podrás utilizar el truco de "añadir ceros después del decimal".
Michal Seweryn
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El problema es que si usted tiene un número de forma $C/D$ donde cualquiera de $C$ o $D$ tienen una expansión decimal infinita no se puede hacer el truco con la adición de cero - en realidad tiene demasiados dígitos, y sólo se puede aproximar $C/D$ sustituyendo $C$ y $D$ por algunos valores que se acercan a $$C and $ D$ respectivamente, pero tienen una expansión decimal finita.
Jonathan Hebert
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