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Question

Sé que es muy sencillo, pero me he quedado atascado. Supongamos que tengo dos ecuaciones de rectas en un plano.

Por ejemplo: $2x + 3y + 5 = 0$; $3x + 4y + 7 = 0$

¿Cuál es el significado geométrico de una nueva recta que se ha obtenido igualando las ecuaciones?

$2x + 3y + 5 = 3x + 4y + 7$;

$x + y + 2 = 0$

Es una recta que se encuentra justo entre ellas, ¿verdad?

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Tengo en mi mente el espíritu de una vieja conferencia que se repite. "Para encontrar un punto de intersección de dos funciones, necesitas igualar las ecuaciones..."

Pero si dejo que x sea cualquier constante y $y = -2 - x$, entonces obtendré un completo sinsentido.

¿Qué estoy olvidando?

Answer 1

Es una línea que pasa por el punto de intersección de las dos líneas dadas. Uno no puede decir más que eso.

Nótese, por ejemplo, que $2x+3y+5=0$ y $9x+12y+21=0$ representan el mismo conjunto de dos líneas que tus dos ecuaciones. Pero si establecemos $2x+3y+5=9x+12y+21$, obtenemos una línea muy diferente a partir de $x+y+2=0$. La única característica compartida es que pasa por el punto de intersección de nuestras dos líneas originales.

Agregado: La pregunta ha sido editada, y además se pregunta cómo encontrar el punto de intersección de $2x+3y+5=0$ y $3x+4y+7=0. La idea es eliminar una de las variables.

La primera ecuación es equivalente a $8x+12y+20=0. (Multiplicamos por $4$.)

La segunda ecuación es equivalente a $9x+12y+21=0.

Si las dos ecuaciones son verdaderas, entonces $8x+12y+20=9x+12y+21. Los $12y" se "cancelan," y obtenemos $x=-1. Luego, de $2x+3y=5$ obtenemos $y=-1.

Por lo general, esto se expresa de una manera un poco diferente. Por ejemplo, multiplicamos la primera ecuación por $4$, y la segunda por $-3$. Obtenemos $8x+12y+20=0$ y $-9x-12y-21=0. Agregamos. Obtenemos $x=-1.

Answer 2

No, no es la línea que se encuentra entre las dos líneas.

x+y+2=0 es la línea que pasa por el punto de intersección de las dos líneas dadas.

Puedes ver esto porque establecer las dos ecuaciones iguales es equivalente a preguntar dónde está el punto de intersección.