I estudio de la teoría de gauge desde una perspectiva matemática. Para mí, uno de los la mayoría de las ideas fundamentales es la noción de un instanton en una 4-variedad.
Para ser precisos, tengo una de Riemann 4-colector y un director $G$-bundle $E$ más de ella (en general $G=SU(2)$, $U(2)$, o $SO(3)$). Dada una conexión en este paquete, puedo tomar su curvatura $F(A) \in \Omega^2(\mathfrak g_E)$ $\mathfrak g_E$con valores de 2-forma. Y luego, porque tengo una de Riemann 4-colector, puedo tomar su estrella de Hodge $*F(A) \in \Omega^2(\mathfrak g_E)$. El anti-auto-dual de la ecuación es $*F(A) = -F(A)$, y un instanton es una solución para esta ecuación.
Yendo un paso más allá, podemos definir el grupo gauge $\mathcal G(E)$ a ser el grupo de paquete de automorfismos de a $E$. Esta actúa sobre el espacio de las conexiones, y conserva el subespacio de instantons, así que puedo mod por esta opción para definir un espacio de moduli de instantons $\mathcal M(E)$. Si tienes suerte, este es un buen colector; si eres realmente afortunado, es 0-dimensional. Hagamos de cuenta que somos realmente afortunados. A continuación, los invariantes de Donaldson $M$ $E$ es (algo así)... contando el número de puntos. (Se adjunta un signo para cada punto en el espacio de moduli y, a continuación, agregue $1$ si $+$ $-1$ si $-$.) Resulta que esto no dependía de la métrica de Riemann en todo! Es un invariante de lisa de 4 colectores, y revolucionó 4-colector de topología.
Ahora bien, volviendo a las cosas en el tema de este sitio, me ha contado la gente inteligente que todo esto tiene algún tipo de físico relevancia (como lo hace el resto de las cosas matemáticas calibre teóricos de hacer). Por desgracia, yo soy un físico ignorante. Traté de leer la página de la wikipedia, y llegó hasta la sección 1.1.1 Alternativa. He de reconocer que, probablemente, esto hace que sea difícil responder a esta pregunta! Pero agradezco cualquier intento de responder a esta a un matemáticamente bien educados laico.
¿Cuál es el significado físico - y la importancia de un instanton? ¿Por qué es interesante? Va más allá de esto, a mi entender, el por encima de sketchily definidos los invariantes de Donaldson tiene alguna clase de relevancia. ¿Qué me dicen acerca de lo que la física es lo que estamos haciendo?
