Mostrando que el objeto inicial es también la terminal en preadditive categoría

Question

Deje $\mathcal{C}$ ser un preadditive categoría, es decir, cada uno de los hom-set admite una estructura de grupo abelian y composición con respecto a estas estructuras es bilineal. No es el hecho bien conocido de que si finita existen productos, entonces fo finito co-productos y coinciden. Estoy teniendo algunos problemas para probar la cero-ary caso:

Si $\mathcal{C}$ tiene un objeto inicial $\varnothing$, luego $\varnothing$ es terminal.

Tenemos que mostrar que para cada objeto $X \in \mathcal{C}$ existe una única flecha $X \to \varnothing$. La existencia es fácil. Desde cada uno de los hom-set es un grupo que, simplemente, nos vamos a $0 : X \to \varnothing$ ser el cero de los elementos del grupo $\mathcal{C}(X,\varnothing)$. Sin embargo, la singularidad es que me molesta. Creo que no hay mucha elección: supongamos que existe otra morfismos $f : X \to \varnothing$. Desde $\varnothing$ es inicial, nos encontramos con $h : \varnothing \to X$. Entonces a partir de la $\mathcal{C}(\varnothing,\varnothing)$ tiene un solo elemento, tenemos que $$0 \circ h = f \circ h = \operatorname{id}_\varnothing$$ Pero entonces estoy pegado...cualquier sugerencia o alternativa sería bueno (soy consciente de la prueba encontrado aquí, pero de alguna manera me gustaría mantener mi fraseo).

Answer 1

Sólo se necesita la existencia de cero morfismos para esto. Una categoría se dice que tienen cero morfismos si entre cada par de objetos hay morfismos $0_{cd} : c \to d$ cero morfismos que se absorbe en el sentido de que

• si $f : d \to e$ es cualquier morfismos, a continuación,$f \circ 0_{cd} = 0_{ce}$, y
• si $g : b \to c$ es cualquier morfismos, a continuación,$0_{cd} \circ g = 0_{bd}$.

Esto implica la existencia de un cero objeto pero no la necesita, y está satisfecho por cualquier preadditive categoría. Cero morfismos son únicos, cuando existen, en el sentido de que si $0_{cd}$ es una colección de morfismos la satisfacción de la definición anterior y $0_{cd}'$ es otra colección de morfismos satisfacer la definición de arriba, a continuación, $0_{cd} = 0_{cd}'$ (fácil de comprobar mediante la composición en ambos lados por un cero endomorfismo). De manera abstracta, una categoría con cero morfismos es una categoría enriquecida a través señaló conjuntos.

Ahora, supongamos $0$ es un objeto inicial en una categoría con cero morfismos. Entonces no hay una única morfismos $0 \to 0$, que debe ser el cero de morfismos y la identidad. Por lo tanto, si $f : X \to 0$ es cualquier morfismos (hay al menos uno, es decir, el cero de morfismos), tenemos

$$\text{id}_0 \circ f = f = 0 \circ f = 0$$

y por lo $f = 0$ es único. Por lo $0$ es terminal. Tenga en cuenta que este argumento sólo se utiliza el hecho de que $\text{End}(0)$ tiene un elemento, por lo que resulta una declaración más fuerte: en una categoría con cero morfismos, cualquier objeto con sólo un endomorfismo (lo que es equivalente, cuya identidad endomorfismo es cero) es un cero de objeto.

Un buen ejercicio de seguimiento es para demostrar que si un functor entre dos categorías, con cero morfismos conserva cero morfismos, entonces se conserva cero objetos. Por lo tanto cero objetos son absolutos colimits para las categorías enriquecida a través señaló conjuntos.