Estoy tratando de entender lo que el gradiente de una forma significa en realidad. En el libro que estoy siguiendo (Un primer curso de teoría General de la Relatividad por Schutz) se dice que la pendiente es de una sola forma y es la asociación con el "vector gradiente" es un uno-a-uno el mapa a través de la métrica tensor (métrica de Lorentz en el libro). Estoy teniendo problemas para entender lo que las componentes del gradiente de una forma $ \tilde d \phi$ (de algunos escalares del campo $\phi$) $\{\frac {\partial \phi}{\partial x^\alpha}\}$ representamos. ¿Qué significado de estos valores de los componentes por sí solos mantenga en un punto {$x^\alpha$}, dado que la tasa de cambio de $\phi$ depende de la dirección que tome. Es el caso que, sólo al $ \tilde d \phi$ es suministrado con una "unidad" de vector que se obtiene un significado físico, "la tasa de cambio de $\phi$ en esa dirección"?
Respuesta
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Creo que tu última frase muestra que está en el camino correcto. Un formulario es un funcional lineal que los mapas de vectores de números reales. Le da un vector como entrada, y, como usted dice, devuelve la tasa de cambio en el implícita dirección.
Supongamos que tenemos un camino cuya tangente en un punto definido por el vector de $v^j\,\partial_j$ - el diferencial operador que opera sobre una suave escalar campo $\psi$ y devuelve el total derivado $\mathrm{D}_v\psi = v^j\,\partial_j\,\psi$. Una forma de $\mathrm{d}u$, siendo lineal, homogénea funcional de los vectores, se define en su totalidad por sus valores en los vectores de la base - es decir, por sus valores de $u_1,\,u_2,\,\cdots$ en la base de la tangente vectores $\partial_1,\,\partial_2,\,\cdots$ (en los componentes, los últimos se $(1,0,0,\cdots),\, (0,1,0,\cdots),\,\cdots$)
Así el gradiente $\nabla\phi$ es una bestia. Su valor al de entrada el vector tangente $\partial_j$ con componentes de $(0,0,,\cdots,1,\,\cdots)$ (con un "1" en la $j^{th}$ posición), el valor funcional de la es $\partial\phi/\partial x^j$.
Simplemente la suma de estos valores de base por superposición: tome el interior del producto con el vector $(v^1,\,v^2,\,\cdots)$ encontrar el funcional del valor y su valor es $v^j\,\partial\phi/\partial x^j$ - del total de la tasa de cambio de $\phi$ en la dirección implícita por $\vec{v}$.
También me gusta Schutz la visualización de una sola forma, como un sistema de hyperplanes: siendo el valor de la velocidad a la que un vector que atraviesa el hyperplanes. El clásico, el prototipo de una forma es el número de onda , donde usted imaginar la fase frentes. La velocidad a la que un vector $\vec{r}$ perfora el phasefronts es $k(\vec{r})$; en óptica menudo debemos perder de vista esto y tratar a $k(\cdot)$ como un vector. Si queremos reconciliar esto con lo anterior, entendemos que el número de onda se ha significado como un producto interior, por lo que el wavevector en la óptica, si estábamos en el cálculo de la curvatura del espacio, es el número de onda de una forma de convertir a un vector de elevar su índice con la métrica: el $\vec{k}$ nos ken y el amor en la óptica es en realidad el "afilado" $\vec{k} = k()^\sharp$ (una abreviatura para criar a un índice), de modo que $\vec{k}^\mu = g^{\mu\,\nu}\,k(\cdot)_\nu$. Creo que sería de gran valor para leer y pensar en el número de onda en el espacio-tiempo de Minkowski.
