Supongamos $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tiene un número finito $n$ de los máximos locales. Podemos decir nada sobre el número de los máximos locales de la función $xf(x)$? Este número es necesariamente finito? Está relacionado con el $n$? Si la respuesta es negativa, hay hipótesis que podemos hacer en $f$ en virtud de la cual la respuesta es positiva (por ejemplo, $f$ es cóncava)?
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gimusi
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Para $f$ continua y diferenciable, la condición necesaria para la existencia de máximo local es
$$(xf(x))'=f(x)+xf'(x)=0\implies \begin{cases}x=0 \quad f(0)=0\\x\neq0 \quad f'(x)=-\frac{f(x)}{x}\end{cases}$$
No parece muy concluyente relación.
Simplemente como ejemplos con diferente comportamiento se puede considerar
- $f(x)=-x^2$ a un máximo local $\to xf(x)=-x^3$ no locales max
- $f(x)=-x^3$ no locales max $\to xf(x)=-x^4$ a un máximo local
- $f(x)=x^3-2x^2-x+1$ a un máximo local $\to xf(x)=x^4-2x^3-x^2+x$ a un máximo local
- $f(x)=\sin x$ $\infty$ máximo local $\to xf(x)=x\sin x$ $\infty$ máximo local
user26925
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Parece que no se puede decir nada sin más supuestos en $f$. Usted puede construir estrictamente decreciente de funciones $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tal que $xf(x)$ tiene como muchos locales max como quiera (incluso infinitamente muchos tal vez?). Tenga en cuenta que la segunda derivada de la prueba, cuando f es dos veces continuamente diferenciable basta $$f'(x_0) = -\frac{f(x_0)}{x_0}$$ y $$x_0f''(x_0) + 2f'(x_0) < 0$$ con el fin de tener un máximo local de $xf(x)$$x=x_0$.
Mi idea es empezar con algo estrictamente decreciente función continua, decir $f_0(x) = 1000 - x$, a continuación, modificar la "tergiversación" de su gráfica en algún punto de $x_1$: es la modificación de $f_0$ sobre arbitrariamente un pequeño intervalo de alrededor de $x_1$ haciendo que la pendiente $-f(x_1)/x_1$, manteniendo el valor en $x_1$ fijo. De esa manera, usted puede crear un máximo local de $xf_0$, manteniendo $f_0$ estrictamente decreciente. Para ver esto, la primera revisión de un intervalo de tamaño (haremos $1/2$ aquí para mayor claridad). Vamos a construir una nueva función de $f_1$ modificando $f_0$ en el intervalo de nuestros tamaño fijo $1/2$$x_1=1$, es decir,$[1-1/4, 1+1/4]$. Bastará con modificar $f_0$ piecewise linear.
En$x_1=1$,$-f_0(1)/1 = -999$, por lo que la pendiente de $f_1(x)$ $x=1$ debe $-999$. Así que para algunos $\epsilon > 0$ a un ser determinado, vamos a dejar de $f_1(x) = 1000-999x$$x \in [1-\epsilon,1+\epsilon]$. Ahora a mantener el $f_1$ estrictamente decreciente, tomamos $\epsilon$ lo suficientemente pequeño como para que $f_0(1-1/4) > f_1(1-\epsilon)$ $f_0(1+1/4) < f_1(1-\epsilon)$ y por último vamos a $$ f_1(x) = \begin{cases} f_0(x), \quad \qquad &x \notin [1-1/4,1+1/4], \\ 1000-999x &x \in [1-\epsilon,1+\epsilon], \end{casos} $$ y interpolar linealmente en $[1-1/4,1-\epsilon]$$[1+\epsilon,1+1/4]$.
Ahora $f_1(x)$ todavía no tiene un máximo local, pero claramente $xf_1(x)$ tiene un máximo local en a $x_1=1$ (tenemos $(x_1f_1(x_1))' = 0$$(x_1f_1(x_1))'' = -1998$).
Ya que el tamaño del intervalo en el que hemos modificado $f_0$ podría hacerse arbitrariamente pequeña, se puede repetir este proceso tantas veces como uno quiera en distintos intervalos y funciones get $f_n(x)$ sin máximo local tal que $xf_n(x)$ $n$ máximo local, en $x_1, x_2, \ldots, x_n$. Para tener lisos ejemplos, sólo aproximados $f_n(x)$ por la suave funciones; si la aproximación es bastante buena en $C^2$ norma, estos liso funciones también tienen las propiedades deseadas.
Advertencia. Para esta construcción, trabajar, quieres hacerlo donde $f(x)$ $x$ tienen el mismo signo, porque usted está tratando de hacer $f' = -f/x$ $f$ está disminuyendo (de lo contrario se crearía un nuevo máximo local). Pero por una disminución de la función lineal, esto le da sólo una región acotada de $\mathbb{R}$ a trabajar y esto crea dificultades si desea repetir el proceso infinitamente muchas veces. Usted probablemente puede hacer que funcione con $f_0(x) = e^{-x}$, aunque. Es decir, hacer este proceso a partir de la con $e^{-x}$ y la construcción de una secuencia $f_n(x)$ tal que $xf_n(x)$ $n$ máximo local, luego tomar un límite y que sostienen que el $f_{\infty}$ es estrictamente decreciente mientras que $xf_{\infty}$ tiene infinidad de máximo local.
