Como en el título quiero resolver la ecuación funcional $$f(x+y)-f(x)f(y)+g(x)g(y)=0 \tag{1} $$ provided that $f,g$ are differentiable for all real values, and that $f$ es una función par.
Mi intento:
Mediante el cambio de variables$(x,y) \mapsto (-x,-y)$, junto con la uniformidad de la $f$ da
$$f(x+y)-f(x)f(y)+g(-x)g(-y)=0 $$
Esto restando de la ecuación original nos encontramos con que $$g(x)g(y)=g(-x)g(-y) \tag{2}. $$
Ahora hay dos casos.
$g \equiv 0$. En este caso la ecuación original, se reduce considerablemente la conocida $$f(x+y)=f(x)f(y) $$ cuya solución es $f \equiv 0$ o $f(x)=\exp(\alpha x)$.
$g \not \equiv0$. En este caso podemos encontrar un número $y_0$ tal que $g(y_0) \neq 0$. El Uso De Eq. 2 da $$g(x)=\frac{g(-y_0)}{g(y_0)}g(-x). \tag{3} $$ La sustitución de $x \mapsto -x$ da $$g(-x)=\frac{g(-y_0)}{g(y_0)}g(x) \tag{4}. $$ Conectar (4) en (3) da $$g(x)=\left( \frac{g(-y_0)}{g(y_0)} \right)^2 g(x), $$ and since $g \no \equiv 0$ we may take $x=y_0$, divide by $g(y_0)$ para encontrar que $$\frac{g(-y_0)}{g(y_0)} = \pm 1.$$ Con esta información la ecuación (3) nos dice que $g$ es par o impar.
A partir de ahora, sólo hablar de la $g \not \equiv 0$ de los casos, por lo que el $g$ tiene que ser pares o impares:
- Supongamos $g$ es un número impar (por lo que el $g(0)=0$) y la forma de la diferencia cociente (simplificado con el uso de (1)) $$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{f(x)f(h)-g(x)g(h)-f(x)}{h}=f(x)\frac{f(h)-1}{h}-g(x)\frac{g(h)-g(0)}{h} .$$ Dado que tanto los límites de $$\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h},\lim_{h \to 0}g(x) \frac{g(h)-g(0)}{h} $$ se sabe que existen, debemos tener que el límite $$\lim_{h \to 0}f(x) \frac{f(h)-1}{h} $$ existe. Hay dos casos: O $f \equiv 0$ (lo que le da la solución trivial, de nuevo), o que $f \not \equiv 0$. En el segundo, nos encontramos con que para que el límite exista debemos tener $f(0)=1$. Con $f(0)=1$ a mano, regresamos a (1) y tome $y=-x$ conseguir $$f(x)^2+g(x)^2=1. $$ Esto significa que podemos escribir $$f(x)=\cos \phi(x),g(x)=\sin \phi(x)$$ for some function $\phi$. La ecuación (1) se reduce en este caso $$\cos \phi(x+y)=\cos ( \phi(x)+\phi(y)). \tag{5} $$
Esto es lo más lejos que puedo ir. Puede alguien por favor a ver si lo que hicimos fue lo correcto, y también me ayudará a terminar?
Editar: He hecho algún progreso más en la "g es impar" caso:
Usando la identidad trigonométrica para la diferencia de cosenos en (5) encontramos que
$$-2 \sin \left(\frac{\phi(x+y)+\phi(x)+\phi(y)}{2} \right) \sin \left( \frac{\phi(x+y)-\phi(x)-\phi(y)}{2} \right)=0, $ $ , que nos deja con dos opciones:
$$\frac{\phi(x+y)+\phi(x)+\phi(y)}{2}=\pi k(x,y) $$ or $$\frac{\phi(x+y)-\phi(x)-\phi(y)}{2}=\pi k(x,y)$$
donde $k=k(x,y)$ es un número entero que a primera vista puede depender de $x$$y$. Sin embargo, puesto que en ambos casos la división por $\pi$ expone $k(x,y)$ como una función continua, vemos que se reduce a un único número entero $k_0$ para todos los valores de $x,y$.
Ahora, en ambos casos, la diferenciación w.r.t. $x$ , seguido por otro w.r.t. $y$ da $$\phi''(x+y)=0 $$ so that $\phi(x)=\alpha x+\beta$ is a first degree polynomial. In the first case this gives $\alpha=0,\beta=\frac{2}{3} \pi k_0$, and in the second case $\alpha$ is free, while $\beta=-2 \pi k_0$.
Así, el primer caso se da la constante de soluciones $f(x)=\cos \frac{2 \pi k_0}{3},g(x)=\sin \frac{2 \pi k_0}{3}$ (que no es válido para algunos valores de $k_0$...), mientras que el segundo caso se da la más interesante $$f(x)=\cos \alpha x,g(x)=\sin \alpha x .$$
Todavía estoy atascado en el caso de que $g \not \equiv 0$ es incluso.
Gracias!
