La métrica de la distancia para las líneas (infinitas) en 3D

Question

Me gustaría una métrica $d(\;)$ entre pares de líneas (infinitas) en $ \mathbb {R}^3$ con estas propiedades:

• Si dos líneas $L_1$ y $L_2$ son paralelas y separadas por la distancia $x$ Entonces $d(L_1,L_2) = x$ .

• $d(L_1,L_2)$ aumenta con el grado de oblicuidad entre las líneas, es decir, el ángulo $ \theta $ entre sus proyecciones sobre un plano ortogonal al segmento más corto conectándolos (que aparece abajo), donde $ \theta =0$ para las líneas paralelas y $ \theta = \pi /2$ para las líneas ortogonales.
       

Intuitivamente, me gustaría que la métrica se relacionara con la fuerza de repulsión entre dos líneas cargadas eléctricamente (pero no tiene por qué ser exactamente la fuerza física real).

¿Se han considerado tales métricas en la literatura? Si es así, apreciaría las descripciones y/o punteros ¡Gracias!

Actualización1 . Resulta que el natural ad hoc definición (de los comentarios) no es una métrica. Por ejemplo, a continuación, un valor suficientemente grande de $a$ asegura que la desigualdad del triángulo será violada:
     
Así que esta pregunta puede ser más difícil de lo que parecía en un principio...

Actualización2 . El respuestas a esta pregunta de seguimiento del MO han revelado que de hecho no hay ninguna métrica que satisfaga mis dos condiciones (y es un w.r.t. continuo). $ \theta $ )!

Answer 1

Una métrica natural podría tal vez construirse de la siguiente manera: Considere el grupo euclidiano (el grupo de todas las rotaciones y traslaciones). Como es un grupo Lie, creo que debería ser posible definir una métrica geodésica natural en él. Con eso, tendrías para cada transformación una distancia de la identidad. Ahora considera el conjunto de transformaciones que transforman la primera línea recta en la segunda, y calcula para cada una la distancia a la identidad. Estoy bastante seguro de que el mínimo de eso debería dar una medida de distancia adecuada para las líneas rectas.

Dado que las líneas paralelas se transforman entre sí usando sólo traslaciones, y las traslaciones forman un espacio vectorial con la distancia de desplazamiento como norma natural, también creo que esto debería cumplir con la condición de que para las líneas paralelas sólo da su distancia euclidiana en el espacio.

Answer 2

Podrías usar para sumar la distancia métrica "habitual" $ d(A,B) := \inf_ {a \in A, b \in B} \Vert a-b \Vert $ más una medida de distancia en los vectores de ángulo $ \theta \in S_2/ \pm $ es decir. $$ m(L_1, L_2) := d(L_1, L_2) + \Vert \theta_1 \times \theta_2 \Vert $$ donde $ L_1 = \{ x_1 + t \theta_1 , t \in \mathbb {R} \}, L_2 = \{ x_2 + t \theta_2 , t \in \mathbb {R} \} $