La fórmula para la suma de las tres raíces en el campo base

Question

Deje $\mathbb K$ ser un perfecto campo y deje $P$ ser una irreductible, monic polinomio con coeficientes en $\mathbb K$ : $P=X^d+\sum_{k=0}^{d-1}a_kX^{k}$. Deje $\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_d$ ser (necesariamente distintos) raíces de $P$. Entonces tenemos :

(*) Si $g=\alpha_1+\alpha_2$ satisface $g\in{\mathbb K}$, luego $g=-\frac{2a_{d-1}}{d}$.

Para ver esto, observe que $P(g-X)$ $P$ tienen raíces $\alpha_1$ $\alpha_2$ en común, así que por irreductibilidad tenemos $P(g-X)=(-1)^d P$. Por lo $\sigma : x \mapsto g-x$ da una permutación de las raíces de la $P$. Si $d$ es impar, entonces $\sigma$ ha un punto fijo, por lo $\frac{g}{2}$ es una raíz de $P$ contradiciendo irreductibilidad. Por lo $d$ es aún, y obtenemos (*) observando los coeficientes de grado $d-1$.

Me pregunto si (*) puede ser generalizado para tres variables en lugar de dos : si $h=\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3$ satisface $h\in{\mathbb K}$, podemos expresar $h$ en términos de los coeficientes de $P$ ? Como resultado nos dicen que $h$ va a satisfacer una relación de grado $d(d-1)(d-2)$, pero esta relación probablemente simplifica considerablemente con el adicional suposición $h\in{\mathbb K}$.

El primer no-trivial caso es $d=6$.

Answer 1

Desde $P$ es irreductible, su grupo de Galois $G$ es transitiva y envía cada $\alpha_i$ a todos los $\alpha_j$ igual número de veces por cada par.

Entonces, asumiendo que la característica de $K$ no divide $d$ ni $|G|$, $|G|h = \sum_{\sigma \in G} \sigma(h) = \sum_{\sigma \in G} \sigma(\alpha_1 + \alpha_2 + \alpha_3) = \frac{3|G|}d\sum_{k=1}^d \alpha_k = - \frac{3|G|a_{d-1}}d$

Por lo tanto,$h = - \frac{3a_{d-1}}d$.