Encontrar un primer orden de la frase satisfecho en todos los finita semigroup pero no en todas las compactas semigroup

Question

Varias propiedades que tiene en vacío finito semigroups también tienen en vacío compacto semigroups. Además, muchas de estas propiedades puede ser formulada por una de primer orden de la frase. Por ejemplo, la existencia de un mínimo elemento para el preorder $\leqslant_{\mathcal J}$ puede ser traducido de la siguiente manera $$ \exists x\ \forall y\ \existe un\ \existe b\quad x = ayb $$ Del mismo modo, el hecho de que el Verde de las relaciones de $\mathcal{D}$ $\mathcal{J}$ coinciden puede ser expresado por una de primer orden de la fórmula, etc.

Ahora, estoy en busca de un primer orden de la frase satisfecho en todos finito no vacío semigroup, pero no en cada compacto no vacío semigroup. Yo preferiría una frase sentado bajo en el $\Sigma_n$ o $\Pi_n$ jerarquía, es decir, una frase con un número pequeño de cuantificador alternancias.

Edit. Un topológico semigroup es un semigroup equipado con un Hausdorff topología para que el mapa de $(x, y) \to xy\ $ es continua. Un compacto semigroup es topológico, semigroup que es compacto como un espacio topológico.

Answer 1

Aquí una posible respuesta: podemos expresar "hay un elemento que no es la unidad y que es un $\mathcal{J}$-elemento maximal (si quitamos la unidad)". Propongo la siguiente fórmula, donde el Verde de las relaciones podrían ser considerados como de primer orden fórmulas: $$∃x (x\neq 1) \land ∀y (y\neq 1 \land x\leq_{\mathcal{J}} y) \to x\mathop{\mathcal{J}} y $$ Ya que estamos en semigroups (y no monoids) la fórmula $x\neq 1$ es realmente una macro para $$\exists z (zx\neq z)\lor (xz\neq z)$$ Creo que esto es cierto en todos finito no vacío semigroup excepto el trivial. Esto se puede arreglar fácilmente con un simple disyunción con la fórmula: $$\forall x (x=1)$$

Sin embargo, el semigroup $[0,1]$ es un compacto semigroup y no cumplir este primer orden de la fórmula. De hecho, el $\mathcal{J}$-orden en [0,1] que coincida con el orden clásico de los números reales. Mediante la eliminación de la unidad se obtiene el intervalo [0,1[ que no tiene un elemento maximal.