límite de $n\sum_{k=1}^n\frac1{n^2+k^2}$ n tiende a infinito

Question

He intentado dividir el interior por n^2 y en una suma de Riemann formulario donde mi delta de x es 1/n y mi Xi* i/n. Sin embargo, creo que quedas atascado después de esto y no estoy seguro de cómo continuar.

Answer 1

Usted puede escribir, como $n \to \infty$, utilizando una suma de Riemann, $$ n\sum_{k=1}^n\frac1{n^2+k^2}= \frac1n\sum_{k=1}^n\frac1{1+\frac{k^2}{n^2}} \\int_0^1\frac1{1+x^2}dx=\arctan (1) =\frac{\pi}4. $$