Ecuación que describe la histéresis magnética

Question

Así que cuando se observan las curvas B-H de las sustancias ferromagnéticas, a menudo se ven estas curvas de histéresis magnética, que se producen, según deduzco, en gran parte debido a la formación de dominios que tiene algunos componentes reversibles y otros irreversibles:

He estado leyendo muchos documentos, sitios web y este libro (Hysteresis in Magnetism) pero no he visto ninguna ecuación sobre cómo generar estas curvas. Reconozco que puede que no haya una forma fácil de expresar toda la curva en una sola ecuación, pero está claro que la gente está generando estos gráficos, y creo que lo están haciendo a partir de algunas ecuaciones, presumiblemente basadas en algunos parámetros característicos como la remanencia de saturación, la fuerza coercitiva, etc. ¿Hay alguien por ahí que pueda ayudarme con esto?

Personalmente, mi primera opción sería una ecuación que realmente describiera el sistema dado algún conjunto de condiciones materiales (sujeto a algunas restricciones también está bien), pero si eso es bastante complicado y en su mayor parte, la gente sólo pega dos funciones sigmoides hasta que se vea bien, entonces me parece bien esa respuesta también, siempre y cuando haya alguna justificación de por qué se hace esto en alguna parte. 1

1 _{Revelación completa: estoy en modo de entrega de tesis y actualmente estoy probablemente un 5 en el <a href="http://www.stanford.edu/~dement/sss.html">Escala de somnolencia de Stanford </a>Por lo tanto, pido disculpas si algunas de las palabras de este post no tienen sentido; intentaré editarlo si la gente considera que no he transmitido adecuadamente mi pregunta.}

Answer 1

El modelo Jiles-Atherton de ferromagnetismo se utiliza en algunos programas de análisis de circuitos. Puede que sea excesivo para esta pregunta, pero da imágenes bonitas.

Voy a trabajar en unidades MKS exclusivamente.

Las ecuaciones del modelo son: $$ B= \mu_0 M \quad , \quad M = M_{rev} + M_{irr} $$ donde $B$ es la densidad de flujo magnético, y la magnetización $M$ se compone de los elementos reversibles ( $M_{rev}$ ) e irreversible ( $M_{irr}$ ).

Físicamente, durante el proceso de magnetización:

• $M_{rev}$ corresponde a la flexión (reversible) de la pared del dominio magnético (la curva de magnetización en forma de S, pero sin histéresis)
• $M_{irr}$ corresponde al desplazamiento (irreversible) de la pared del dominio magnético contra el efecto de pinning (la histéresis).

Estos componentes se calculan según:

$$ M_{rev} = c (M_{an} - M_{irr}) $$ $$ M_{an} = M_s \left[ \coth \left(\frac{H + \alpha M}{A}\right)-\frac{A}{H+ \alpha M}\right] $$ $$ \frac{dM_{irr}}{dH} = \frac{M_{an}-M_{irr}}{k \delta - \alpha (M_{an}-M_{irr})} $$

Aquí la magnetización anhisterética $M_{an}$ representa la magnetización para el caso en el que no se tiene en cuenta el efecto pinning. (Este caso corresponde a $c=1$ , donde $M=M_{an}$ y $M_{irr}$ por lo que no contribuye a $M$ .)

La cantidad en la expresión de $M_{an}$ entre corchetes es la función de Langevin $\mathcal{L}$ : $$ \mathcal{L}(x) = \coth(x) - \frac{1}{x} \quad , \quad \mathcal{L}(x) \approx \left\{\begin{array}{ccc} \frac{x}{3} & , & |x|<<1 \\ 1 & , & x >> 1 \\ -1 & , & x<<-1 \end{array} \right.$$

y $\delta$ es el signo de la tasa de cambio temporal del campo magnético aplicado $H$ : $$ \delta = \left\{ \begin{array}{ccc} +1 & , & \frac{dH}{dt}>0 \\ -1 & , & \frac{dH}{dt}<0 \end{array} \right. $$

$M_{rev}$ se pueden eliminar de este sistema de ecuaciones para reducir su número en 1: $$ M = c M_{an} + (1-c)M_{irr} $$

Las ecuaciones para $M, M_{an},$ y $M_{irr}$ son interdependientes y, por tanto, deben resolverse simultáneamente.

Hay 5 parámetros (enumerados aquí junto con valores de muestra):

• $M_s$ la magnetización de saturación [1,48 MA/m]
• $c$ la ponderación de los componentes anhisteréticos frente a los irreversibles [0,0889]
• $\alpha$ el parámetro de campo medio (que representa el acoplamiento entre dominios) [0,000938]
• $A$ establece la escala de la intensidad del campo magnético [470 A/m]
• $k$ mide la histéresis [483 A/m]

Para los valores indicados, una hoja de cálculo rudimentaria produjo este gráfico:

El eje horizontal es el campo magnético aplicado H, en A/m, que va de 0 a 2500, luego baja a -2500 y vuelve a subir a 2500. El eje vertical es la densidad de flujo B en T.

Este ejemplo procede de un documento del IEEE de 1999 de Lederer y otros "Sobre la identificación de parámetros y la aplicación del modelo de histéresis de Jiles-Atherton para la modelización numérica de las características medidas".

Parece que la elección de los parámetros para que coincida con un determinado material es una tarea, pero esa es otra historia...