las generalizaciones de Lagrange de cuatro cuadrados teorema de

Question

1. Para que los enteros positivos $a, b, c, d$, cualquier número natural $n$ puede ser representado como $$n=ax^2+by^2+cz^2+dw^2$$ donde $ x, y,z,w$ son enteros?

De Lagrange de cuatro cuadrados teorema establece que $(a,b,c,d)=(1,1,1,1)$ obras. Ramanujan demostrado que no son exactamente $54$ opciones posibles para $a, b, c, d$.

2 . Para que los enteros positivos $a, b, c, d$, $$n=ax^2+by^2+cz^2+dw^2$$ tiene solución en los números enteros $ x, y,z,w$ para todos los enteros positivos $n$ a excepción de un número? Por ejemplo, $n=x^2+y^2+2z^2+29w^2$ tiene solución para todo número natural $n$ excepto $14$, $n=x^2+2y^2+7z^2+11w^2$ y $n=x^2+2y^2+7z^2+13w^2$ con la excepción de $5$

P. R. Halmos demostrado que no son exactamente $88$ opciones posibles para $a, b, c, d$.

Cómo conseguir que? Puede recomendar algunas referencias? Gracias

Answer 1

Como recuerdo, Ramanujan se incluyó por error $(1,2,5,5)$ que no representan el 15.

La cosa principal que usted necesita es la lista de regular ternario formas $$ a x^2 + b y^2 + c z^2 $$ con $$ 1 \leq a \leq b \leq c, $$ la que puse en KAPLANSKY como un pdf con el nombre de Dickson_Diagonal_1939. En la lista también se requiere de $$ \gcd(a,b,c) = 1, $$ así que uno necesita para comprobar cuando que podrían hacer una diferencia. Yo también puse la prueba de los 15 teorema como Bhargava_2000. Manjul la principal observación fue que de cualquier forma universal tiene una regular ternario de la sección, que en gran medida acortar la búsqueda.

Para el Halmos resultado, no me acuerdo de que una sección regular es necesario. De hecho, Halmos encontrado $(1,2,7,11)$ que carece de un regular ternario sección, así que hay que ir.

Si yo fuera a hacer esto, yo simplemente hacer una cuádruple bucle en algún lenguaje de ordenador, una vez $(a,b,c)$ representa todos los números hasta el $c,$ o echa de menos a más de un valor, a continuación, intente posible $d \geq c$, de modo que no hay más valores están perdidas (hasta 100, por ejemplo). Para el Halmos problema es aceptable considerar $a=1,2.$ Como es el caso, ahora sabemos con certeza que el único número de perdidas de 15 o más pequeños, pero Halmos no necesita suponer que.

En caso de que en realidad la informática esta: Dado $a=1,2,$ hay infinitamente muchos números que no están representados. Llame al número más pequeño perdidas $A_1,$ llame al segundo $A_2.$ es Así, entonces estamos considerando $a x^2 + b y^2$ $ a \leq b \leq A_2,$ de lo contrario, perdemos dos valores. Llame al número más pequeño perdidas $B_1,$ la próxima $B_2.$ pasamos a considerar la posibilidad de $a x^2 + b y^2 + c z^2$ $ b \leq c \leq B_2.$ Ahora, no es del todo trivial que cualquier positivo ternario todavía falta un número infinito de valores. Una breve discusión, no es una completa prueba, es en el final de La Sensual Forma Cuadrática por J. H. Conway. De todos modos, llame al número más pequeño perdidas $C_1,$ la próxima $C_2.$ pasamos a considerar la posibilidad de $a x^2 + b y^2 + c z^2 + d w^2$ $ c \leq d \leq C_2.$

La positividad se utiliza de manera esencial en todo esto. Como indefinida, formas que de otra manera son el mismo, dado cualquier entero $N,$ los formularios $$ x^2 - y^2 + (2N+1)z^2 $$ and $$ x^2 - y^2 + (4N+2)z^2 $$ son universales.