Es una matriz con polinomio característico $t^2 +1$ ¿invertible?

Question

Dado que $A$ es una matriz cuadrada con polinomio característico $t^2+1$ es $A$ ¿invertible?

No estoy seguro, pero esta cuestión parece depender de si $A$ ha terminado $\mathbb{R}$ o por encima de $\mathbb{C}$ . Mi razonamiento es que si $A$ ha terminado $\mathbb{C}$ entonces $A$ tiene dos valores propios distintos $-i$ y $i$ y es diagonalizable. Ya que su diagonalización es invertible, $A$ también es invertible.

Sin embargo, si $A$ ha terminado $\mathbb{R}$ entonces $A$ no tiene valores propios y por lo tanto... No sé a dónde ir desde allí.

Answer 1

Los valores propios de la matriz son todas las raíces del polinomio característico.

Una matriz cuadrada es invertible si y sólo si $0$ es pas un valor propio de la matriz.

Por lo tanto, una matriz cuadrada es invertible si y sólo si el término constante de su polinomio característico es <fill in the blank>

Answer 2

Sí que lo es. De hecho $A^{-1}=-A$ .

Answer 3

$A$ es una matriz cuadrada y $\det A=1$ por lo que es invertible.

Answer 4

Sugerencia : $\pmatrix{ \hphantom{-}0&1\\ -1&0 }$ es un ejemplo de matriz real con polinomio característico $t^2+1$ que es invertible. Su inversa es $\pmatrix{ 0&-1\\ 1&\hphantom{-}0 }$ como puede comprobar fácilmente.

Answer 5

Se puede utilizar el Teorema de Cayley-Hamilton, que establece que $f(A) = 0$ donde $f(x)$ es el polinomio característico de $A$ para determinar que $A^{2} + I = 0 \implies A^{2} = -I \implies \det(A)^{2} = (-1)^{2} \implies \det(A) = \pm 1 \ne 0 \implies A$ es invertible.
Obsérvese que como el polinomio característico tiene grado $2$ podemos suponer que estamos trabajando con $2 \times 2$ matrices.