Resumen de Álgebra Lineal

Question

Muy nuevo estudiante abordar este curso, y nunca he sido de esta aterrado de Matemáticas antes. No puedo entender el significado de las cosas en Álgebra Lineal, la mayoría de lo que dijo es oscuro, sin sentido, abstracta y cuando estoy abordar primero de ellos. ¿Qué tipo de consejo le darías? Voy a ser más específico y expresar mis ideas.

En primer lugar, el más simple cuestión de todos; Lo que en el mundo es un subespacio? Yo NO estoy en busca de los criterios que se hace de un subespacio. Quiero aferrarme a cualquier definición fundamental. Por qué por ejemplo, debe incluir el 0 del vector? ¿Qué hace un subespacio siquiera se parecen (suponiendo que estamos trabajando con R2 y R3)

Cuando me dijo que poseen cierre bajo la adición y la multiplicación, siempre me imagino a un plano infinito, o de una línea, básicamente; el espacio de coordenadas enteras (Si es que realmente es el caso, entonces ¿cuál es el punto de la definición de un subespacio).

Estos persistentes pensamientos son realmente arrastrando detrás de mí...tengo un MONTÓN de preguntas más, pero que esta sea una impresión.

Gracias por Aclarar~

Answer 1

Primero de todo, aunque es bueno tener una intuición y la visualización de lo que los objetos matemáticos son, usted no puede quitarse de las definiciones formales. Cuando las cosas se ponen demasiado complicado para visualizar, conocer y ser capaz de aplicar las definiciones te guarde.

Dicho esto, recordemos que un espacio vectorial $X$ es un conjunto que satisface una larga lista de axiomas. Un subespacio de $X$ es un subconjunto de a $X$ que también satisface todos los axiomas. Uno de los axiomas es que un espacio vectorial debe incluir un vector cero. Por lo tanto, cualquier subespacio también debe incluir el vector cero.

Un subespacio de $\mathbb R^2$ es sólo el origen o una línea a través del origen (o incluso todos los de $\mathbb R^2$ es un subespacio de sí mismo). Un subespacio de $\mathbb R^3$ es el origen, una línea que contiene el origen, o de un plano que contiene al origen (o, de nuevo, todos los de $\mathbb R^3$). La razón para la definición de un subespacio es que no todos los espacios vectoriales pueden ser visualizadas a $\mathbb R^2$ o $\mathbb R^3$. Algunos son mucho más complicado. Por tener una definición formal, podemos encontrar propiedades verdaderas de todos los subespacios, no sólo de planos y líneas.

Answer 2

Es interesante que una de las primeras formas de pensar acerca de la linealidad fue también uno de los más abstractos. Fourier, formuló el principio de superposición en un camino que sigue muy de cerca la definición de lineal (vector) el espacio que usamos hoy en día. La transformada de Fourier se utiliza este principio para formular su teoría de la Conducción del Calor.

Suponga que usted es el estudio de la Conducción de Calor en el sistema. Usted puede imaginar la aplicación de alguna fuente de calor $s$, y viendo lo que sucede. Esto podría ser un punto de fuente de calor, o de una introducción general de calor en el sistema, etc.. el doble de la fuente de calor mediante la aplicación de $2s$. Usted puede agregar dos diferentes fuentes de calor $s_1+s_2$ y puedes formar combinaciones de $3s_1+1.2s_2$. Fourier formulado de conducción de calor mediante su principio de superposición en forma de crítica. Si $Es_1$ representa el efecto de la temperatura sobre el tiempo debido a la aplicación de la fuente de calor $s_1$, entonces su principio era que, si se duplica la fuente, tendría el doble efecto: $E(2s_1)=2E(s_1)$. Y si has añadido las fuentes, que daría lugar a la adición de los efectos de $E(s_1+s_2)=Es_1 + Es_2$. Este fue un principio abstracto, sino virtual cada sistema Físico tiene algunas régimen lineal donde tales reglas básicas se aplican: el doble de la causa, y el doble del efecto; agregar las causas y agregar sus efectos individuales. Las causas tienen que ser "pequeño" por la linealidad de aplicar, pero prácticamente cada sistema Físico tiene un régimen lineal. La derivada de Cálculo es tan importante, porque nos da un régimen lineal para el comportamiento de una función cerca del punto; derivado es una aproximación lineal, y esto se generaliza a cualquier número de dimensiones.

Así, uno de los primeros espacio lineal de ideas, sería el espacio de causas $s_1,s_2,s_3,\cdots$, y otro espacio sería el espacio de efectos. Usted puede agregar las causas. Puede ajustar la escala de las causas, etc.. Y hay algunos lineal operador $E$ que se lleva a causa de los efectos a través de un principio de superposición: el doble de la causa, el doble del efecto; agregar dos causas y añadir a sus efectos.

Pensar en estos términos, usted sólo acerca de tener el uso de la más abstracta, la moderna noción de Espacio Vectorial. No fue una evolución natural conduce a estas ideas. Y, una vez que estas ideas tuvieron suficientemente evolucionado, Espacios Vectoriales debido a un ajuste natural para la teoría de la Mecánica Cuántica. Curiosamente, la Mecánica Cuántica es una de las más lineal de los modelos de la física, y de ahí se requiere una compleja escalares. Tiene pequeñas flechas en el plano complejo que giran en el tiempo cuando usted mira a la luz, y para comprender cómo superponer luz, usted tiene que utilizar el Complejo de escalares. Feynman formulado su Cuántica Electrodinámica el uso de este tipo de conocimiento.

Un subespacio es donde se consideran todas las posibles causas que pueden construir a partir de una colección fija de fuentes usando superposición. Los efectos correspondientes sería entonces el subespacio de todos los posibles efectos formado por la superposición de los efectos correspondientes.

Answer 3

En primer lugar creo que funciona mejor cuando se hagan las preguntas aquí. Pero para responder a tu pregunta, creo que la mejor manera para entender el álgebra lineal es permanecer abstractos. Al menos esa debe ser su primer paso. Quiero aclarar que esto es sólo mi opinión personal, aunque.

Creo que mucha de la confusión que viene de tratar de imagen diferentes objetos matemáticos en su cabeza. La imagen ayuda, por supuesto. Sin embargo, todavía es muy importante seguir con las definiciones y trabajando en varios contraejemplos en su propio. Ahora, para contestar algunas de sus preguntas.

Lo que en el mundo es un subespacio?

Acabo de leer la definición, usted lo sabe. Sin embargo, ¿qué es un vector? Esa es una pregunta más interesante.

¿Por qué queremos incluir vector cero en un subespacio?

Nosotros no queremos incluir $0$. Vector cero es siempre allí. Mientras se define un subespacio como un subconjunto de la satisfacción de cerrar en la multiplicación escalar y suma, $0$ es de allí. Usted realmente no puede deshacerse de él.

¿Qué hace un subespacio incluso parece?

En $\mathbb{R}^2$ parece que la línea que pasa por el origen. En $\mathbb{R}^3$ se ve como un plano que pasa por el origen. En la dimensión superior, no lo sabemos. Si alguien sabe, por favor hágamelo saber. Una pregunta interesante es que ¿por qué todos tienen que pasar por el origen?

Como Bungo se ha mencionado, una línea que pasa por el origen es también un subespacio de $\mathbb{R}^3$, y el origen (punto único) es un subespacio de ambos ℝ2 y ℝ3. También, el espacio es perfectamente válido subespacio de sí mismo.

Answer 4

Mi consejo es ser paciente. Probablemente no sea del todo claro aún por qué un subespacio es un concepto útil, incluso si usted entender perfectamente la definición y ejemplos específicos en $\mathbb R^2$$\mathbb R^3$.

Pero muy pronto, va a empezar a aprender acerca de los lineales de los mapas de un espacio vectorial a otro. El corazón de álgebra lineal es realmente el estudio de la linealidad de los mapas entre espacios vectoriales, no de espacios vectoriales sí mismos. Aquí es donde subespacios de inicio que aparecen de forma natural.

Por ejemplo, si $f : V \to W$ es lineal en el mapa de espacio vectorial $V$ a un espacio vectorial $W$, entonces el conjunto de todos los vectores $v$ $V$ tal que $f(v) = 0$ es un subespacio de $V$, llamado el kernel (o espacio nulo) de $f$.

Y el conjunto de todos los vectores $w$ $W$ tal que $w = f(v)$ algunos $v$ $V$ es un subespacio de $W$, llama la imagen de $f$.

Estos dos subespacios, el núcleo y la imagen, son muy importantes los primeros pasos hacia la comprensión de la estructura de un lineal mapa. Mirando más adelante, se encontrará con otros espacios que le dan aún más la visión: subespacios propios, ortogonal complementos, todo tipo de cosas interesantes.

Espero que esto te motivará más que el seco declaración de que "un subespacio es un subconjunto de un espacio vectorial, que pasa a ser un espacio vectorial en su propio derecho", que es, de hecho, todo lo que es.