Presentación de grupo

Question

¿Cuál es la presentación de la no-abelian grupo de orden $pq$ donde $p$ $q$ son primos y $q\mid(p-1)$?

Gracias de antemano.

Answer 1

Desde $\mathbb{Z}_p$ es cíclica, $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_p)$ es abelian de orden $p-1$, y por lo tanto (desde el recíproco de Lagrange del teorema vale para abelian grupos) $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_p)$ contiene un elemento de orden $q$. Deje $\sigma$ ser una automorphism y $\Sigma:\mathbb{Z}_q\rightarrow \operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_p)$ mapa del generador de $\mathbb{Z}_q$$\sigma$. A continuación, $\Sigma$ completamente determina una incrustación de $\mathbb{Z}_q$ a $\operatorname{Aut}(\mathbb{Z}_p)$ (por qué?), así podemos formulario de $$\mathbb{Z}_p\rtimes_\Sigma \mathbb{Z}_q.$$ La presentación de este grupo es $$\langle a,b|a^p,b^q,a^b=a^m\rangle,$$ donde $m$ es el entero satisfacer $\sigma(x)=x^m$ - es decir, el problema se reduce a encontrar un número de orden multiplicativo $q$ modulo $p$. Esto puede ser algo difícil de calcular, pero una forma de hacerlo es encontrar un elemento primitivo $\bmod \,\,p$ ( $u$ ), a continuación, calcular $m=u^{(p-1)/q}\mod{p}$.

Answer 2

Uno puede ser levantado pensando $$G=\langle a,b|a^p=b^q=1,~~bab^{-1}=a^l\rangle$$ wherein $l^q\equiv1~(\text{mod}~ p),~(l,p)=1$.