Supongamos $(\Omega, \mathcal{A}, P)$ es el espacio muestral y $X: (\Omega, \mathcal{A}) \rightarrow (\mathbb{R}, \mathcal{B})$ es una variable aleatoria.
- Usando el lenguaje de la teoría de la medida, $P(A \mid X)$, el condicional probabilidad de un evento dado un variable aleatoria, se define a partir de esperanza condicional como $E(I_A \mid X)$. So $P(\cdot \mid X)$ es en hecho de una asignación de $\mathcal{A} \times \Omega \rightarrow [0,1]$.
- En la escuela primaria de la probabilidad, nos aprendí que $$P(a \a mediados de X \in B): = \frac{P(a \cap \{X \in B\})}{P(X \in B)}.$$ Si entiendo correctamente, esto requiere e implica la $P(X \in B) \neq 0$. Así $P(\cdot \mid X \in \cdot)$ está en hecho de una asignación de $\mathcal{A} \times \mathcal{B} \rightarrow [0,1]$.
Mis preguntas son:
Cuando se $P(\cdot \mid X)$ en el primera definición y $P(\cdot \mid X \en \cdot)$ en el segundo coincidiendo/ser coherente el uno con el otro y cómo?
Hay algunos casos cuando se puede ambos se aplican, pero no está de acuerdo con otros? Es la primera definición de un más general que incluye a la segunda como un caso especial?
Preguntas similares condicional la expectativa.
- En la escuela primaria de la probabilidad, $E(Y \mid X \in B)$ se define como la expectativa de $Y$ w.r.t. el pm $P(\cdot \mid X \in B)$. Así $E(Y \mid X \in \cdot)$ es un la asignación de $\mathcal{B} \rightarrow \mathbb{R}$.
- En teoría de la medida, $E(Y \mid X )$ es una variable aleatoria $\Omega \rightarrow \mathbb{R}$.
También me pregunto cómo $E(Y \mid X \en \cdot)$ en la escuela primaria probabilidad y $E(Y \mid X )$ en teoría de la medida puede coincidir/ser consistente? Es el último de un general definición que incluye a la ex como un caso especial?
Gracias y saludos!
