$\mathbb{F}_{2^4}$ no es isomorfo a un sub-anillo de $\mathbb{F}_{2^5}$

Question

Demostrar que $\mathbb{F}_{2^4}$ no es isomorfo a un sub-anillo de $\mathbb{F}_{2^5}$.

Así que mi intento de demostrar esto es como sigue:

Prueba: Desde $\mathbb{F}_{2^5}$ es finito, cada subgrupo finito de orden, y por Lagrange del Teorema se tiene que cualquier subgrupo puede tener un orden $2,4,8,16$ o $32$.

Partiendo de aquí es mi problema. Me siento como si demostrar que ningún subgrupo de orden 16 es que existe, es la única forma plausible a ir, pero mostrando esto es lo que yo estoy seguro acerca de. Consejos/sugerencias?

Solución:

Prueba: Considerar el grupo de la unidad de $\mathbb{F}_{2^5}$. El fin de este grupo de la unidad es $2^5 -1= 31$. Claramente, $31$ es prime, así que por Lagrange del Teorema tenemos que las únicas dos subgrupos son los subgrupos triviales. Por lo tanto, agregar el aditivo de identidad para el grupo de orden uno, tenemos $\mathbb{F}_2$, y del mismo modo, la adición de la identidad aditiva para el grupo de la orden de 31, tenemos $\mathbb{F}_{2^5}$. Claramente, $\mathbb{F}_{2^4} \ncong \mathbb{F}_2 , \mathbb{F}_{2^5}$ desde un isomorfismo entre finito campos existe si tienen el mismo número de elementos.

Gracias a todos los comentarios, realmente me ayudó.

Answer 1

En vez de mirar el aditivo de la estructura del grupo, que tal vez podría buscar en el multiplicativo de la estructura del grupo. Tenga en cuenta que el grupo multiplicativo de las unidades en $\mathbb F_{2^n}$ sólo contiene $2^n - 1$ elementos, ya que excluye el elemento cero.

Answer 2

Usted no puede demostrar que ya no son, de hecho, varios sub-grupos de $\mathbb{F}_{2^5}$ orden $16$; tenga en cuenta que, como grupo, $$\mathbb{F}_{2^5}\cong C_2\times C_2\times C_2\times C_2\times C_2$$ donde $C_2$ es el finito grupo cíclico de orden $2$. Sin embargo, no hay sub-anillos de $\mathbb{F}_{2^5}$ orden $16$.

Aquí es una guía general:

• Demostrar que existe un único sub-anillo, vamos a llamar a $A$ $\mathbb{F}_{2^5}$ que es isomorfo a $\mathbb{F}_2$ (.k.una. $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$), y que cualquier sub-anillo de $\mathbb{F}_{2^5}$ debe contener $A$. Sugerencia: hay un anillo único homomorphism $\mathbb{Z}\to R$, para cualquier anillo de $R$. Deje $A$ ser la imagen de el anillo único homomorphism $\mathbb{Z}\to\mathbb{F}_{2^5}$.

• Demostrar que cualquier sub-anillo de $\mathbb{F}_{2^5}$ es en realidad un campo (en general, cualquier finito integral de dominio es un campo).

• Probar que si $K$ es un subcampo de la $L$ $L$ es un subcampo de la $M$,$[M:K]=[M:L][L:K]$.

• Demostrar que $[\mathbb{F}_{2^5}:A]=5$. Si $R$ es cualquier sub-anillo de $\mathbb{F}_{2^5}$, ¿cuál puede ser el de la factorización de $$5=[\mathbb{F}_{2^5}:A]=[\mathbb{F}_{2^5}:R][R:A]$$ look like, considering that $5$ es primo?

De manera más general, es cierto que $\mathbb{F}_{p^d}$ es isomorfo a un subcuerpo de $\mathbb{F}_{p^n}$ si y sólo si $d\mid n$.

Answer 3

Si $\mathbf F_{16}$ fueron un subcampo de la $\mathbf F_{32}$, la respuesta es fácil : el orden de $\mathbf F^*_{16}$ dividiría que de $\mathbf F^*_{32}$ (Lagrange), lo cual es imposible. También se podría nota directamente que $\mathbf F_{p^m} \subset \mathbf F_{p^n}$ si y sólo si $m$ divide $n$ (multiplicación de grados en una torre de extensiones).

Para reducir esta situación, mostrar que sólo un número finito de dominio $D$ es necesariamente un campo : debido a que $D$ es finito, por cualquier distinto de cero $x \in D$, no existe necesariamente exponentes $n > m$ tal que $x^m = x^n$, o, equivalentemente,$x^m (x^{n-m} -1)=0$; debido a $D$ no tiene ningún divisor de cero, esto implica que $x$ es invertible.

NB. Después de publicar mi respuesta, me doy cuenta de que es sólo una frase de @Zev Chonoles. Tenga en cuenta sin embargo que el problema original no tiene mucho sentido. Porque si $f$ es un anillo de isomorfismo $K \to R \subset L $ donde $K$ es un campo y $R$ es un sub-anillo de un campo de $L$, necesariamente, $f(0)=0$ (explotando el aditivo de la estructura del grupo), lo que implica $f(1)=1$ (por el argumento anterior, pues, como un sub-anillo de un campo, $R$ es automáticamente un dominio), del que se desprende que $R$ es un campo (solo porque si $xy=1$$K$,$f(x)f(y)=f(1)=1$$R$) .