¿Cuándo l'Hospital de la regla de trabajo para la serie?

Question

Esta pregunta surge a partir de una respuesta de un colega mío recibido como un (imperfecto) solución a un problema en su cálculo examen. El estudiante fue determinar la convergencia de una serie de la forma $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{g(n)}$. El estudiante en lugar de considerar la serie de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{f'(n)}{g'(n)}$ y pensé que esta serie y el original debe comportarse de la misma manera. Esto, por supuesto, es falso en general.

Qué condiciones en $f$ $g$ son necesarios para que la serie $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{g(n)}$ converge iff $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{f'(n)}{g'(n)}$ converge?

Answer 1

Supongamos $f$ $g$ son meromorphic en un barrio de $U$ $\infty$ con polos en $\infty$ (por lo $\lim_{z \to \infty} f(z) = \lim_{z \to \infty} g(z) = \infty$), tener órdenes de $p$ $q$ respectivamente. A continuación, $f'$ $g'$ tienen orden de $p-1$$q-1$, respectivamente, en $\infty$. Si $\{N, N+1, \ldots\} \subset U$, a continuación, $\sum_{n=N}^\infty \frac{f(n)}{g(n)}$ converge iff $q \ge p + 2$ iff $\sum_{n=N}^\infty \frac{f'(n)}{g'(n)}$ converge.

Answer 2

Yo soy el hombre que tenía la confusa estudiante.

En mi original planteamiento de la cuestión, pido $f'$ $g'$ a ser monótona, no sólo a $f$$g$. Son todavía capaces de crear un contraejemplo?

Alguien mencionó la utilidad. Si algo como esto funcionó, me gustaría tener a los estudiantes a aplicar a la serie como n/(n^3-1). La Prueba de Comparación es difícil de usar correctamente. El Límite de la Prueba de Comparación es ideal para esto, pero es bueno tener opciones.

Tal vez la lista de condiciones para hacer esta conjetura verdadera se hace demasiado largo para molestar. Pero todavía tengo que ver un contraejemplo a las siguientes condiciones:

1. $f'$ $g'$ son monótonas.

2. $\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=0$

3. $f$ $g$ tiene "L'Hôpital condiciones": $\lim_{x\rightarrow\infty}f(x)=\lim_{x\rightarrow\infty}g(x)=0$ o $\pm\infty$.

Answer 3

En mi opinión cualquier resultado sería artificial y hacen muy poco sentido matemático (a excepción de curso para los estudiantes).

¿Cómo podemos usar ese resultado? Dada la serie de $\displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{g(n)}$, ya que el $f,g$ se definen sólo para los números enteros, ¿qué $f'(n)$ $g'(n)$ significa?

Hacia atrás el mismo problema, ¿cómo podemos integrar una función definida sólo en números enteros positivos.

Por supuesto, la mayoría de los ejercicios que los estudiantes se reúnan sólo implican funciones elementales, por lo que para los estudiantes es bastante natural para derivar/integrar dichas secuencias; sin embargo, en realidad cualquier función definida en los enteros tiene una cantidad no numerable de diferenciables de las extensiones de los números reales. Cualquier examen o bien se necesita para el trabajo de todos ellos (lo dudo), o a excluse la mayoría de ellos.

Por último, pero no menos importante, tener en cuenta dada cualquier función del tipo de $\frac{f(n)}{g(n)}$ definida en los enteros, es fácil de extender (probablemente en countably muchas maneras) para funciones diferenciables $f,g$${\mathbb R}$, de modo que $f'(n)=0$ $g'(n)\neq 0$.... Y esto se puede hacer la mayoría de las veces, de manera que las propiedades básicas de $f,g$ $\frac{f}{g}$ tal como la monotonía son presearved....

Para incluir un ejemplo sencillo para enfatizar el problema:

Vistazo a la serie de $\sum \frac{1}{n^2}$.

¿Cuál sería el derivado de la serie ser? Obvio derecha $\sum \frac{0}{2n}$...

O desde nuestra serie es también el mismo que el $\sum \frac{1+\sin(2n \pi)}{n^2}$, entonces la derivada de la serie debería ser $\sum \frac{2 \pi \cos(2n \pi)}{2n}=\sum \frac{ \pi }{n}$.

Estos dos derivados de comportamiento completamente diferente... Y si crees que esto es fácil, si $h(x)$ es cualquier función derivable entonces nuestra originar la serie es también:

$$\sum \frac{1+\sin(2n \pi)h(n)}{n^2} \,.$$

y ahora las cosas se ponen difíciles....

Agregó

Pidiendo $f$, $g$ para ser monótona no cambia mucho, es sólo que contraejemplos son un poco más difícil de construir. Digamos que $f$ está disminuyendo.

Fijar un $n$. A continuación, la función de $h: [n,n+1]$ definido por

$$h(x)= \frac{f(n)+f(n+1)}{2}+ \frac{f(n)-f(n+1)}{2}\cos((x-n)\pi) \,.$$

está disminuyendo, y $h(n)=f(n), h(n+1)=f(n+1)$ artimaña $h'(n)=h'(n+1)=0$.

Haciendo esto en cada intervalo, que puede sustituir a cualquier disminución de $f$ por una nueva función, que es monótona y cuya derivada es idéntica a cero en los números enteros...

Y más complicado de ejemplos que pueden ser construida de modo que la derivada es cualquier secuencia negativa, y estoy bastante seguro de que esto se puede hacer a ser, incluso,$C^\infty$.