Elemento de orden $2n$ en el grupo simétrico $S_n$

Question

He estado recientemente de la lectura de algunos artículos acerca de los pedidos de elementos en $S_n$, y sé que con el fin de encontrar max orden en $S_n$ podemos utilizar Landau función, aunque yo creo que para las pequeñas $n$ es mejor hacerlo "manualmente".

Mi pregunta es: ¿Para qué $n$ $S_n$ conatin un elemento de orden $2n$?

Podría usted decirme cómo responder a esa pregunta.

No es posible para $S_3$ que han dicho elemento, ya que aquí se $3-$ciclo tiene orden de $3 \neq 6$.

Asimismo, para $S_4$ (max ord = $4$),

para $S_5$ (max ord = $6$ para los ciclos de $(ab)(cde)$),

y para $S_6$ - aquí tenemos a max ord = $6$.

para $S_7 $ max ord = $12$ para los ciclos $(abc)(defg)$. $14=2/cdot7$, pero $2+7=9$

A continuación, para $S_8$ hemos max ord = $15$$(abc)(defgh)$,

para $S_9$ hemos max ord = $20$ $(abcd)(efghi)$ pero no vamos a entrar a $18$ porque $18$ no puede ser escrito como un producto de dos coprime números de $\in \{1,2,...,8\}$

Parece que puede ocurrir si nos puede dividir permutación en ciclos disjuntos que las longitudes de coprime. Pero esto no es suficiente.

Me podrían ayudar con eso?

Gracias.

Answer 1

Supongamos que $n$ no es una potencia de un primo. Entonces podemos escribir $n=ab$ donde $a$ $b$ son coprime y ambos, al menos,$2$. Por otra parte, podemos suponer que nos empujó a todos los factores de $2$ a $a$, por lo que el $b$ es impar. El plan es probar que la $2a+b\leq n$, así que podemos aprovechar los distintos productos de una $2a$-ciclo y un $b$-ciclo para obtener un elemento de orden $2n$.

Al $a$ $b$ son tanto, al menos, $3$ $a+b \leq n/3 + 3$ (maximizar $x+y$$x,y\geq 3$$xy=n$), por lo $2a+b \leq 2n/3 + 3 \leq n$ desde $n\geq 9$. De lo contrario, podemos suponer que la $a=2$$b=n/2$, en cuyo caso $2a+b = n/2 + 4 \leq n$ si $n<8$.

Sólo queda convencer a ti mismo que $S_n$ no contiene un elemento de orden $2n$ al $n$ $6$ o una potencia de un primo.