No medibles función pero mensurable pre-imagen

Question

Estoy teniendo problemas con un problema. Esto da un indicio de uso de la Vitali construcción, pero, sinceramente, no lo entiendo.

La pregunta es: Mostrar que existe una función de $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no es Lebesgue medible, pero $\forall$ $ a \in \mathbb{R}$ $f^{-1}(a)$ es medible.

Yo: Deje $E$ que no sea un subconjunto medible de $\mathbb{R}$ , y

$f(x)= \begin{cases} x & x\in E \\ -x & x\notin E \end{casos} $

No estoy seguro de que esto es correcto. Cualquier ayuda sería muy apreciada, y todas las disculpas por la simplista consultas.

Answer 1

Cualquier bijection de $\mathbb{R}$ que sí ha medibles preimages de los embarazos únicos. Así que una manera sencilla de hacerlo es biject un nonmeasurable set $E$ con un intervalo de $I$, y, a continuación, biject $\mathbb{R} \setminus E$$\mathbb{R} \setminus I$. A continuación, la preimagen de un intervalo de $E$, lo que ciertamente no es medible.

¿Qué conjunto de Borel ha nonmeasurable preimages en tu ejemplo? (No estoy diciendo que no funciona, simplemente no estoy del todo claro cómo funciona, si funciona.)

Edit: una variante en el ejemplo que más obviamente obras: vamos a $E$ ser un nonmeasurable conjunto contenida en $(0,\infty)$, y luego definir

$$f(x)=\begin{cases} x & x \in E \\ -x & x \in [0,\infty) \setminus E \\ x & x \in (-\infty,0) \end{casos}.$$

A continuación, $f^{-1}(\{ a \})$ está vacío, un singleton, o dos puntos, pero $f^{-1}((0,\infty))=E$, lo que no es mensurable.

Answer 2

Bonito ejemplo. Cada una de las $f^{-1}(a)$ es un singleton (por lo tanto medible) sino $f$ no es mensurable.

[Añadido: @Juan Ma notas, $f^{-1}(a)$ no se necesita ser un singleton, pero tiene cardinalidad en la mayoría de los 2. Para ver la no medición de la $f$, vamos a $g$ denotar la función identidad; a continuación, $f=g\cdot (2\cdot 1_E -1)$ donde $1_E$ es la función de indicador de $E$. Si $f$ eran mensurables, a continuación, en ${\Bbb R}\setminus\{0\}$ también lo hubiera $1_E = [(f/g)+1]/2$ ser medibles, una contradicción de la hipótesis básica.]