Función diferencial de $(0,1]$ en $(0,1)$ ?

Question

¿Existe alguna función diferenciable definida en $(0,1]$ cuyo rango es $(0,1)$ ?

Answer 1

Considere $$ f(x)=\frac{1+\left(1-\frac x2\right)\,\sin\frac1x}2. $$ Si $x>\delta$ entonces $|f(x)|=f(x)\leq(1+(1-\delta/2))/2=1=\delta/4$ . Pero cerca de cero, la función se aproxima tanto a 1 como a 0. Así que su rango es $(0,1)$ .

Answer 2

Esto hace el trabajo $$f(x) = \frac{1}{2} \left( (1-x) \sin \left( \frac{1}{x}\right) + 1 \right)$$