Hay una manera sencilla de demostrar el postulado de Bertrand desde el primer número teorema?

Question

Hay una manera sencilla de demostrar el postulado de Bertrand desde el primer número teorema?

El primer número teorema implica inmediatamente Bertrand postulado para suficientemente grande $n$, pero no se puede establecer una base de caso (los vinculados a prueba en la Wikipedia explícitamente da el caso base $n \ge 468$). En la otra dirección, Bertrand postulado rendimientos $\pi(n) \ge \log_2(n)$ que aparentemente añade poco más allá del teorema de Euclides para cualquier prueba de la PNT. Es el primer número teorema realmente "más fuerte" que el postulado de Bertrand, en el sentido de que la asunción de la ex puede simplificar una prueba de esto último? Lo que los lemas son necesarios, además de PNT para una información más concisa prueba de Bertrand postulado?

EDIT: me estoy refiriendo específicamente a esta versión de PNT:

$\pi(x) \sim \frac{x}{\log x}$

Answer 1

No estoy seguro de si es lo que estás buscando, pero la prueba de Bertrand postulado es algo relacionado con la prueba del teorema de Chebyshev, que dice que $\pi(x) = \Theta(x/\log x)$; ambas pruebas se basan en una cuidadosa estimación de la central de los coeficientes binomiales $\binom{2n}{n}$.

Para demostrar el teorema de Chebyshev, se puede empezar por la búsqueda de la estimación

$$ \frac{2^{2n}}{2n+1} < \binom{2n}{n} < 2^{2n}, \etiqueta{1} $$

a continuación, utilizando a la conclusión de que la $\vartheta(x)/x < 4\log 2$ y por lo tanto

$$ \limsup_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = \limsup_{x \to \infty} \frac{\vartheta(x)}{x} \leq 4 \log 2, $$

y $\psi(x)/x > (x-2)\log 2/x - \log(x+1)/x$ y por lo tanto

$$ \liminf_{x \to \infty} \frac{\pi(x)}{x/\log x} = \liminf_{x \to \infty} \frac{\psi(x)}{x} \geq \log 2, $$

donde $\vartheta$ $\psi$ son de Chebyshev funciones.

Para demostrar el postulado de Bertrand, uno puede mejorar la estimación de $(1)$ a

$$ \frac{2^{2n}}{2\sqrt{n}} < \binom{2n}{n} < \frac{2^{2n}}{\sqrt{2 n}}, \etiqueta{2} $$

que puede ser utilizado para mostrar que

$$ \vartheta(2n) - \vartheta(n) > \left(\frac{2n}{3}-1\right)\log 2-\left(\frac{\sqrt{2n}+1}{2}\right)\log 2 > 0$$

para $n \geq 2^6$. Esto es exactamente Bertrand postulado de $n \geq 2^6$. El resto de los casos son revisados por la mano.

Mi referencia para estas pruebas es Chandrasekharan la Introducción a la Teoría Analítica de números.