Ejemplo para no tener el polinomio más cercano de $f$ en algún espacio vectorial de dimensión infinita

Question

Tengo una pregunta sobre algún subespacio de $C[0,1]$ en mi libro de texto introduciendo.( $C[0,1]$ es todo el espacio de funciones continuas revalorizadas en [0,1]). aquí está el contenido en mis libros de texto

Consideremos el subespacio $S=\{h \in C[0,1] : h(0)=0\}$ y $T=\{h \in S : \int_{0}^{1}h(x) =0 \}$

Dejemos que $g(x)=x$ y considerar la distancia de $g$ a $T$ . Tenga en cuenta que $g(0)=0$ pero

$$\int_{0}^{1}g(x)dx=\frac{1}{2}$$

Supongamos que $h\in T$ y calcular que

$$\frac{1}{2}=\int_{0}^{1}(g(x)-h(x))dx \le \int_{0}^{1}||g-h||_\infty dx =||g-h||_\infty$$

si $||g-h||_\infty=\frac{1}{2}$ entonces esta desigualdad debe ser una igualdad. esto sólo puede ocurrir si * $$g(x)-h(x)=||g-h||_\infty=\frac{1}{2}$$ *****

esto implica que $h(x)=x-\frac{1}{2}.$ Tenga en cuenta que $h$ no radica en $T$ porque $h(0)=0$ Así que la distancia $\frac{1}{2}$ no se consigue

Tengo curiosidad por saber cómo se produce " $||g-h||_\infty = \frac{1}{2}$ $\Rightarrow$ $g(x)-h(x)=||g-h||_\infty=\frac{1}{2}$ "La inversa es trivial, pero la proposición de origen necesita ser probada. Por favor, dame una pista sobre la proposición

Answer 1

Utilice el hecho de que si $\int^1_0 f(x)dx=0$ y $f\ge 0$ en $[0,1]$ entonces $f=0$ en $[0,1].$ Porque si no es así, la continuidad de $f$ implica que existe un intervalo $I\in [0,1]$ tal que $f>0$ en $I$ y luego $\int^1_0 f(x)dx\ge \int_I f(x)dx>0$ que es una contradicción.

Ahora bien, si $\int_{0}^{1}(g(x)-h(x))dx = \int_{0}^{1}||g-h||_\infty dx,$ entonces $\int_{0}^{1}(||g-h||_\infty-(g(x)-h(x))) dx=0$ y como $||g-h||_\infty-(g(x)-h(x))\ge 0$ esto implica que $||g-h||_\infty-(g(x)-h(x))=0\Rightarrow ||g-h||_\infty=g(x)-h(x).$