$\int_0^\infty \frac{ x^{1/3}}{(x+a)(x+b)} dx $

Question

$$\int_0^\infty \frac{ x^{1/3}}{(x+a)(x+b)} dx$$ where $a>b>0$

¿Qué voy a hacer?

He diffucty cuando me encuentro multi de la función de valor.

Answer 1

Si aplicamos la sustitución de $x=y^3$ obtenemos: $$ I(a,b) = 3\int_{0}^{+\infty}\frac{y^3\,dy}{(y^3+a)(y^3+b)}=\frac{3}{a-b}\int_{0}^{+\infty}\frac{a\,dy}{y^3+a}-\frac{3}{a-b}\int_{0}^{+\infty}\frac{b\,dy}{y^3+b}$$ pero si partimos, por cualquier $c>0$, $$ J(c) = \int_{0}^{+\infty}\frac{c\,dy}{y^3+c},$$ simplemente tenemos $J(c)= c^{1/3}\,J(1)$ a través de la sustitución de $y=c^{1/3} z$. En el pasado, $$ J(1) = \int_{0}^{+\infty}\frac{dy}{y^3+1}=\int_{0}^{1}\frac{dy}{y^3+1}+\int_{0}^{1}\frac{y\,dy}{y^3+1}=\int_{0}^{1}\frac{dy}{1-y+y^2}=\frac{2\pi}{3\sqrt{3}},$$ por lo tanto:

$$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{1/3}\,dx}{(x+a)(x+b)}=\color{red}{\frac{2\pi}{\sqrt{3}}\cdot\frac{a^{1/3}-b^{1/3}}{a-b}}.$$

Considerando el límite de la RHS como $b\to a$, también tenemos: $$ \int_{0}^{+\infty}\frac{x^{1/3}}{(x+a)^2}\,dx = \frac{2\pi}{3\sqrt{3}\,a^{2/3}}.$$

Answer 2

Supongamos $A^3=a, B^3=b$, por simplicidad. Ahora hacer una sustitución de $x=t^3$, que va a transformar la integral como esta $$I=\int_{0}^\infty \frac {3t^3dt}{(t^3+A^3)(t^3+B^3)}$$ romper Ahora esta en fracciones parciales como este

$$I=3\int_{0}^\infty [\frac {1}{(t^3+B^3)}-\frac {A^3}{B^3-A^3}(\frac {1}{t^3+A^3}-\frac {1}{t^3+B^3})]$$

Ahora, mediante el uso de este

$$I_1=\int_{0}^\infty \frac{dt}{t^3+A^3}=\frac {2\pi}{3^{\frac{3}{2}}A^2}$$

(Usted puede calcular esta integral muy fácilmente. Acaba de poner a $x=At$ $t=\frac {1}{p}$ y después de realizar estos dos sustituciones, agregar integral, verás que una ecuación cuadrática es de la izquierda en el denominador. Para quitar que poner $p-\frac {1}{2}=\lambda$. Después de hacer esta sustitución, usted puede fácilmente obtener el valor de la integral anterior.)

Ahora el uso de $I_1$, el valor de la $I$ es igual a

$$I=\frac {2\pi}{3^{1/2}}[\frac{1}{B^2}-\frac {A^3}{B^3-A^3}(\frac{1}{A^2}-\frac{1}{B^2})]$ $ , que después de simplicación igual a $$I=\frac{2\pi}{\sqrt3 \times(B^2+A^2+AB))}$$ donde $A^3=a, B^3=b$

Answer 3

Usted puede utilizar primero $x=t^3$$dx=3t^2dt$, y, a continuación, hacer la integral como la suma de dos integrales utilizando la siguiente:

$$ \frac{ 3t^3}{(t^3+a)(t^3+b)} = \frac{ \frac{-3a}{b-a}}{(t^3+a)}+ \frac{ \frac{3b}{b-a}}{(t^3+b)}$$