Me plantearon la pregunta: ¿cuánto es 9+99+999+9999+...+999..99(30 dígitos)? Tras observar una tendencia, llegué a la conclusión de que la respuesta sería 28 1's 080. ¿Puede alguien confirmar mi respuesta y dar una razón de por qué?
Tenga en cuenta que $$\underbrace{99\cdots 9}_{k\text{ digits}} = 10^k - 1.$$ Así que su suma es la misma que $$(10-1) + (10^2-1) + (10^3-1) + \cdots + (10^{30}-1),$$ que es igual a $$(10 + 10^2 + 10^3 + \cdots + 10^{30}) - 30.$$ La primera suma es fácil de hacer, la diferencia es fácil de hacer, y da su respuesta.
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Para que conste, esto se publicó de forma cruzada en SO: stackoverflow.com/questions/4481022/sum-of-999999-30-9s
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Posible duplicado de N= 9 + 99 + 999 + ... 999...99
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¿y cómo podría explicar esto con palabras?
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@Ronnie: C
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Como decirle a un compañero o a un profesor que la respuesta es 28 1's 080
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¿Explicándoles una de las pruebas que te han dado? Si entiendes las matemáticas, deberías ser capaz de usar palabras para explicar los pasos. Si no es así, ¿podrías hacer preguntas más concretas sobre lo que no entiendes?
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No, entiendo la tendencia y seré capaz de dar una respuesta si me dices lo que es 9+99+... a cualquier dígito. Pero en palabras, cómo lo explicaría. Sería como sumar 9+99+999+... es igual a 10 a la potencia que sea -1....
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@Ronnie: No lo es; cada sumando es igual a una potencia de $10$ menos 1, pero la suma total es no una potencia de 10 menos 1. En palabras, se diría cuál es el argumento: Observa que $10^k$ es un $1$ seguido de $k$ ceros, por lo que $10^k - 1$ es $k$ 9's. Así que puedes reemplazar cada sumando con una potencia de 10 menos 1; entonces se puede reordenar la suma de manera que se sumen todas las potencias de 10 primero, y se resten todos los 1s después; entonces se puede averiguar cuál es la suma de las potencias de 10; etc.