No entiendo la definición de función suave como una función que es derivable infinitas veces.
Si "suave" significa que el gráfico no tiene esquinas agudas es suficiente sólo la existencia de la primera derivada.
La palabra "suave" está muy sobreutilizada. Suele significar "tan diferenciable como necesito en este momento". En algunos contextos, se utiliza para $C^\infty$ (las derivadas de todo orden existen y son continuas), en algunos for $C^1$ (la derivada de primer orden existe y es continua). En alguna situación podría significar cosas aún más complicadas, como pertenecer a algún espacio de Sobolev.
Compruebe el libro que está utilizando.
Sin contexto, se suele suponer que $C^{\infty}$ . Además creo que su confusión está más en el inglés.
Pues bien, "curvas suaves a trozos" suele significar a trozos $C^1$ . Depende mucho del contexto.
Depende del contexto. Mi punto principal es que su confusión está en tratar de trasladar la definición inglesa de la palabra "smooth".
En matemáticas, las definiciones se hacen objetivas para que no puedan ser entendidas de forma diferente por distintas personas.
La "continuidad" se basa en una opinión propia. Afortunadamente, los resultados relacionados con la continuidad no dependen de la interpretación personal, porque hacemos un pacto de antemano para ponernos de acuerdo sobre lo que entendemos por "continuidad".
Para la presente pregunta, se aplica la misma idea.
Una sugerencia fiel es ésta: Familiarízate con el pensamiento axiomático si quieres estudiar matemáticas en serio. Las matemáticas no son un verdadero poema en el que el significado de las palabras se abre deliberadamente permitiendo diferentes interpretaciones que varían de una persona a otra.
Estás mezclando la definición de los profanos con la definición matemática. Suave significa infinitamente diferenciable, tener o no esquinas no tiene nada que ver.
Suave significa infinitamente diferenciable porque "nosotros lo decimos".
Editar, como dice mrf suave puede significar diferentes cosas dependiendo de los contextos. Pero la cuestión es que en cada contexto tiene una definición precisa que sólo tiene que ver vagamente con una idea intuitiva de "suave".
¿Así que las definiciones matemáticas son completamente arbitrarias? No hay ningún vínculo entre las palabras naturales de la definición y el enunciado formal
@Valerio En cierto modo, tienes razón. No son "completamente arbitrarios", entiendes que tener derivados es algo "suave" por lo que hay una motivación. Sin embargo a la hora de hacer matemáticas, esta motivación no ayuda en absoluto y peor aún confunde. En matemáticas, una definición contiene todo la información. En realidad, la palabra que utilizamos podría no tener ningún vínculo entre la palabra natural, y el enunciado formal tiene razón. Hay espacios topológicos "normales" y subgrupos "normales" y operadores "normales".
@Valerio Los espacios topológicos normales son diferentes a los espacios topológicos regulares. Aunque las dos palabras en el habla normal son casi sinónimos.
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En sus palabras, suave significa que incluso los gráficos de las derivadas no tienen esquinas afiladas.
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Pruebe a viajar en un coche con velocidad continua pero aceleración discontinua, y vea si describe la conducción como "suave"
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Mi pregunta surge de un problema de infografía. Si trazo la gráfica de una función veo que cuantas más derivadas tiene la función, más suave es visualmente la gráfica. En realidad es más suave si miro la pantalla. Si la suavidad es sólo un nombre elegante asociado a una definición formal y lo único importante es la definición formal, ¿cómo es posible?