Las pruebas de correlación y el t-estadístico utilizado en la Regresión Lineal Simple

Question

Dado $H_0$ : $\rho=0$ y $H_A$ : $\rho\neq0$, utilizamos la prueba estadística de $t_{n-2}$,$\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$. Tengo que demostrar que $\frac{r\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ es igual a $\frac{\hat{\beta}}{SE(\hat{\beta})}$, con la sugerencia de que $SE(\hat{\beta})=\frac{S_{(Y|X)}}{\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}}$. Cualquier idea sobre cómo hacer esto?

Yo no sé que $\hat{\beta}=r\frac{S_y}{S_x}$ y $\sqrt{\sum\limits_{x=1}^{n} (x_i-\bar{x})^2}=S_x$. Después de hacer un poco de álgebra, llego $\frac{S_y}{S_{y|x}}=\frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$. Pero me quedo atascado allí.

Answer 1

Yo creo que lo tengo. $S_{y|x}=\sqrt{\sum(y_i-\hat{y_i})^2}\sqrt{\frac{1}{n-2}}$. Sustituyendo esto en la obtenemos: $\frac{S_y}{\sqrt{\sum(y_i-\hat{y_i})^2}}\sqrt{n-2}=\frac{\sqrt{n-2}}{\sqrt{1-r^2}}$ $\sqrt{n-2}$ cancela produciendo $\frac{S_y}{\sqrt{\sum(y_i-\hat{y_i})^2}}=\frac{1}{\sqrt{1-r^2}}$ $S_y$ es igual a $\sqrt{\sum(y_i-\bar{y_i})^2}$, por lo que la sustitución que en el cuadrado ambos lados obtenemos $\frac{\sum(y_i-\bar{y_i})^2}{\sum(y_i-\hat{y_i})^2}=\frac{1}{1-r^2}$ sabemos que $1-r^2=\frac{SSE}{SST}$ Sustituyendo a que en lleguemos $\frac{\sum(y_i-\bar{y_i})^2}{\sum(y_i-\hat{y_i})^2}=\frac{SST}{SSE}$, lo cual es cierto.