Parcial Conversar de Titular del Teorema de

Question

Titular del Teorema es la siguiente: Vamos a $E\subset \mathbb{R}$ ser un conjunto medible. Supongamos $p\ge 1$ y deje $q$ ser el Titular de la conjugada de $p$ - que es, $q=\frac{p}{p-1}.$ Si $f\in L^p(E)$ $g\in L^q(E),$ $$\int_E \vert fg\vert\le \Vert f\Vert _p\cdot\Vert g \Vert_q$$

Estoy tratando de demostrar los siguientes parciales contrario también es cierto. Supongamos $g$ es integrable, $p>1$ y $$\int_E \vert fg\vert\le M\Vert f\Vert_p$$ when $f\en L^p(E)$ is bounded, for some $M\ge0$. I am trying to prove that this implies that $g\en L^p(E)$, where $p$ is the conjugate of $p$. Estoy interesado en saber si mi prueba es correcta o si tiene cualquier potencial.

Intento: Suponiendo que esto es cierto, quiero mostrarles $\int_E \vert g\vert^q<\infty$. Tenga en cuenta que $g^{q-1}\in L^p(E)$ desde $\int_E \vert g\vert^{pq-p}=\int_E \vert g \vert ^q<\infty$ (creo que esto es cierto desde $g$ es integrable - sé que tiene al $q$ es un número natural). Tome $f=g^{q-1}$ y la hipótesis nos dice que $$\int_E \vert g \vert^q\le M\Vert g^{q-1}\Vert_P\\<\infty \,\,(\text{since }g^{q-1}\in L^p)$$so $g$ es integrable.

Answer 1

Esta no es una forma correcta de la prueba. Quiere mostrar que $\int_E |g|^q < \infty$, pero entonces usted está usando este en la prueba. Así que nada ha sido demostrado.

Para escribir una correcta prueba, usted tendrá que aproximar $g$, como lo escribió en su último comentario. E. g.set $E_k = E \cap B_k(0)$ (por lo que estos conjuntos ya han finito medida) y $$ g_k(x) = \begin{cases} g(x) \quad (x \in E_k, |g(x)| \le k) \\ 0 \quad \text{otherwise} \end{casos} $$ Claramente $\int_E |g_k|^q < \infty$ todos los $k$. Ahora el uso de la asunción y de un adecuado limitar, por ejemplo, con la del Teorema de Lebesgue.