Acerca de la condición necesaria y suficiente, nuevamente

Question

Aquí tengo una oración tomada de un libro de primer año:

La afirmación "si A entonces B" es equivalente a la afirmación "A es una condición suficiente para B" y a la afirmación "B es una condición necesaria para A"

Comprendo la primera parte, pero no logro ver cómo la afirmación "si A entonces B" lleva a la conclusión de que "B es una condición necesaria para A".

¿Una condición suficiente siempre es una condición necesaria?

Espero que alguien pueda ayudarme con alguna explicación y ejemplos.

Gracias

Answer 1

¿es una condición suficiente siempre una condición necesaria?

Las frases no se aplican directamente a A y B, son solo dos formas de describir la misma relación entre A y B mientras se enfatiza el papel de una de las condiciones en la implicación. La frase "A es una condición necesaria/suficiente" no tiene sentido sin referencia a una segunda condición.

En cuanto a un ejemplo, ser un cuadrado es una condición lo suficientemente fuerte como para garantizar ser un rectángulo. Por otro lado, es absolutamente necesario ser un rectángulo si tienes alguna esperanza de ser un cuadrado.

Esto podría ayudar: "ser un rectángulo es necesario para ser un cuadrado: si no eres un rectángulo, no eres un cuadrado." Esta afirmación simplemente dice "no rectángulo $\implies$ no cuadrado", que es simplemente la contrapositiva de "cuadrado $\implies$ rectángulo."

Answer 2

Entiendo la primera parte, pero no puedo ver cómo la afirmación "si A entonces B" conduce a la conclusión de que "B es una condición necesaria para A".

Puedes obtener esta intuición dibujando una tabla de verdad para $A \rightarrow B$

$$\begin{array} {|c|} \hline A & B & A \to B \\ \hline 1 & 1 & 1\\ \hline 1 & 0 & 0\\ \hline 0 & 1 & 1 \\ \hline 0 & 0 & 1 \\ \hline \end{array}$$

Verás que siempre que $A$ es verdadero, también lo es $B, lo que refleja la idea intuitiva de que $B$ es necesario para $A$.

Answer 3

Aquí está mi comprensión:

Significa que $A$ necesariamente implica $B.

La primera afirmación te dice que es suficiente tener $A$ para obtener $B. Pero podrías tener $B$ sin $A.

La segunda afirmación te dice que dado $A$, debes tener $B.

Answer 4

"A es suficiente para B" es $A\to B$. También se expresa como "Si A entonces B".

Esto significa que la verdad de A garantiza la verdad de B, aunque B puede ser verdadero cuando A no lo es.

Es decir, o bien A es falso o B es verdadero.

---

"B es necesario para A" es $B\leftarrow A$.

Esto significa que A no puede ser verdadero cuando B no lo es, pero que A puede no ser verdadero cuando B lo es.

Es decir, o bien A es falso o B es verdadero.

---

Por lo tanto, son equivalentes. $$A\to B \quad\iff\quad B\leftarrow A$$

Answer 5

Es muy útil tener en cuenta que al afirmar "si $p$, entonces $q$", la afirmación es falsa solo cuando $p$ es verdadero y $q$ es falso. Sin embargo, para comprender la relación entre $p$ y $q$ al hacer esta afirmación, es importante tener una comprensión clara del significado de un enunciado condicional.

"Si $p$, entonces $q" afirma que siempre que $p$ sea verdadero, $q$ también es verdadero, es decir, la verdad de $p$ es suficiente para la verdad de $q. Ahora, ¿por qué decimos que $q$ es necesario para $p? Esto se debe a que la afirmación está afirmando implícitamente (y es equivalente a) "si $q$ es falso, entonces $p$ es falso" (porque de lo contrario, si $q$ es falso y $p$ es verdadero, entonces la afirmación original no puede sostenerse). A partir de esto, determinamos una relación equivalente, que es que la verdad de $q$ es necesaria para la verdad de $p.

Como ejemplo, la declaración condicional "si está lloviendo, entonces está nublado" es la afirmación de que la presencia de lluvia es suficiente (suficiente) para garantizar que esté nublado. Pero, teniendo en cuenta el significado de esta afirmación, sabemos que si no está nublado, entonces tampoco estará lloviendo, es decir, que esté nublado es necesario para que esté lloviendo.