¿Qué se puede decir acerca de la $p\in Spec(R)$ al $R_p$ es un campo?

Question

¿Qué se puede decir acerca de la $p\in Spec(R)$ al $R_p$ es un campo? Especialmente cuando se $R$ es local noetherian

Answer 1

Obviamente $p$ debe ser de un mínimo de prime, en otras palabras tener una altura cero.
Pero minimality no es suficiente : si $k$ es un campo y $R=k[\epsilon]=k[t]/(T^2)$, el ideal de $p=(\epsilon )$ es mínimo, pero $R_p=R$, no es un campo.

Sin embargo, si $R$ es reducido y $p$ es un mínimo prime, a continuación, $R_p$ es reducido (como la localización de una reducción del anillo) y $pR_p\subset R_p$ es sólo el primer ideal de $R_p$.
Por lo tanto es cero debido a que es igual el nilradical de la reducción del anillo de $R_p$, y por lo $R_p$ es un dominio.
Pero un dominio de dimensión cero es un campo, ya que el primer a $(0)$ es máxima por cero-dimensionalidad.
Así pues, hemos probado :

La proposición:
En un reducido anillo de $R$ la localización de la $R_p$ $R$ a un prime es un campo si y sólo si $p$ es un mínimo prime.