Cómo simplificar la expresión trigonométrica

Question

Tengo algunos problemas con mi tarea. El problema es simplificar la siguiente expresión trigonométrica: $$ \frac{\sin150^{\circ}-\cos240^{\circ}}{\cot730^{\circ}\cot800^{\circ}+\tan730^{\circ}\tan800^{\circ}} $$

Sé que $\sin{150^{\circ}} = \sin{\frac{5\pi}{3}} = \frac{1}{2}$$\cos240^{\circ} = \cos{\frac{4\pi}{3}}=-\frac{1}{2}$, lo $\sin150^{\circ}-\cos240^{\circ} = 1$, y el numerador es igual a $1$. ¿Cómo puedo lidiar con el denominador?

Answer 1

Debido a las propiedades periódicas de seno y coseno tenemos $\cot730^{\circ} = \frac{1}{\tan730^{\circ}} = \cot10^{\circ} = \frac{1}{\tan10^{\circ}}$$\cot800^{\circ} = \frac{1}{\tan800^{\circ}} = \cot80^{\circ} = \frac{1}{\tan80^{\circ}}$. Por lo tanto: $$ \frac{1}{\cot730^{\circ}\cot800^{\circ}+\tan730^{\circ}\tan800^{\circ}} = \frac{1}{\cot10^{\circ}\cot80^{\circ}+\tan10^{\circ}\tan80^{\circ}} $$

Ahora tenga en cuenta que $$\cos10^{\circ} = \cos(-10^{\circ}) = \sin(-10^{\circ} + 90^{\circ}) = \sin80^{\circ},$$ $$\cos80^{\circ} = -\sin(80^{\circ}-90^{\circ})= -\sin(-10^{\circ}) = \sin10^{\circ},$$ así $$ \tan10^{\circ} = \frac{\sin10^{\circ}}{\cos10^{\circ}}= \frac{\cos80^{\circ}}{\sin80^{\circ}} = \cot80^{\circ}, $$ $$ \tan80^{\circ} = \frac{\sin80^{\circ}}{\cos80^{\circ}}= \frac{\cos10^{\circ}}{\sin10^{\circ}} = \cot10^{\circ}, $$ así que usted tiene $$ \frac{1}{\cot10^{\circ}\cot80^{\circ}+\tan10^{\circ}\tan80^{\circ}} = \frac{1}{\cot10^{\circ}\tan10^{\circ}+\tan10^{\circ}\cot10^{\circ}} = \frac{1}{2} $$

Answer 2

Permítanme darles algunos consejos:

• $\cot A = \tan (90^{\circ} - A)$ y vice-versa

• y $\tan A=\frac{1}{\cot A}$ y vice-versa

• $\cot730^{\circ}=\cot10^{\circ} $

• $\cot800^{\circ}=\cot80^{\circ}$

Trate de averiguar el resto por ti mismo.