Problema en demostrar que los $\mathbb{A}^2$ no es homeomórficos a $\mathbb{P}^2$

Question

deje $k$ ser una expresión algebraica campo cerrado. Todos los espacios están equipados con la habitual zariski topologías.

Todas las pruebas de este hecho, lo que he visto se basan en el hecho de que dos líneas en $\mathbb{P}^2$ se cruzan, pero el contrario no se mantienen en Un^2. Pero estoy atascado en demostrar que esta propiedad es un "zariski-topología de invariantes" (he.e conservados por nuestra homeomorphism). Todo el uso de la prueba de este hecho sin probarlo, así que yo supongo que es algo trivial, pero no sé cómo demostrarlo

Alguien tiene una sugerencia sobre cómo demostrarlo?

Sería suficiente para mí para demostrar que las líneas de Un^2 son enviados a las líneas para completar la prueba, o que la imagen de una curva algebraica es una expresión algebraica proyectiva de la curva. Pero no puedo probar alguna de estas. Alguna ayuda?

Answer 1

Existen dos disjuntas irreductible cerrado subconjuntos tanto que contiene más de un punto en $\mathbb A^2_k$, pero no en $\mathbb P^2_k$ (de Bézout).

Answer 2

Si usted tiene un poco más de la maquinaria de la geometría algebraica usted puede darse cuenta de que $\mathbb{P}^2$ es una completa variedad mientras que $\mathbb{A}^2$ no lo es. Para explicar un poco:

Se dice que una variedad $X$ es completa si para todas las variedades de $Z$ el mapa de proyección $X\times Z\rightarrow Z$ es cerrado, es decir, envía cerrado conjuntos de conjuntos cerrados.

A ver que $\mathbb{A}^2$ no es completa, considere la posibilidad de $Z=\mathbb{A}^1$. A continuación,$\mathbb{A}^2\times\mathbb{A}^1 = \mathbb{A}^3$, por ejemplo, con coordenadas $(x,y,z)$. Considerar el subconjunto cerrado $V(xz-1)\subset \mathbb{A}^3$, entonces el mapa de proyección $p:\mathbb{A}^3\rightarrow\mathbb{A}^1$ en el último factor envía: $$p(V(xz-1)) = \mathbb{A}^1 \setminus 0$$

que no está cerrado.

Es una (no tan fácil) teorema que $\mathbb{P}^n$ es una completa variedad, véase, por ejemplo, en Harris,' Introducción a la Geometría Algebraica libro.

Esto puede ser un poco de un alto poder responder a tu pregunta, pero creo que se usa un concepto importante que se debe tratar de familiarizarse con.

$\textbf{Edit:}$

Esto no proporciona una respuesta a la OP a la pregunta de porque es posible que no completa y completa de las variedades a ser homeomórficos, por ejemplo,$\mathbb{P}^1$$\mathbb{A}^1$. Sin embargo, ciertamente no son isomorfos como variedades.

Answer 3

Bueno, hay dos cosas.

1. Homeomorphism conserva compacidad (se puede ver por qué? homeomorphisms ser uno-a-uno conserva los sindicatos, las inclusiones y opennes).

2. $\mathbb{P}^2$ es compacto, mientras que $\mathbb{A}^2$ no lo es.