Demostrar que el conjunto $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2 + y^2 > 4, y < 6\}$ está abierto en $\mathbb{R}^2$

Question

El problema consiste en demostrar que el conjunto $A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2: x^2 + y^2 > 4, y < 6\}$ está abierto en $\mathbb{R}^2$

Mi intento :

Sea $S=(0,0)$

Tomemos un ejemplo arbitrario $x=(x_1,x_2) \in A$ y definir $R = \min\{\lvert{d(x,S)-2}\rvert,\lvert x_2-6 \rvert \}$ así que tenemos una bola abierta $K(x,R)$ Para demostrar que el conjunto es abierto tenemos que demostrar que para un conjunto arbitrario $y=(y_1,y_2) \in K(x,R)$ que $y$ tiene que estar en $A$ .

Mediante algunas manipulaciones, principalmente utilizando la desigualdad del triángulo y los puntos $S,x,y$ He conseguido demostrar que $y_1^2+y_2^2 > 4$ .

Pero probar $y_2 < 6$ ha resultado ser muy difícil y me he quedado sin ideas sobre qué hacer en concreto.Tengo la sensación de que me estoy perdiendo algo mucho más simple aquí.

Gracias de antemano.

Answer 1

En $y\in K(x,R)$ $$y_2<x_2+R\leq x_2+|x_2-6|$$ Ahora como $x\in A$ , $x_2<6$ Por lo tanto $|x_2-6|=6-x_2$ . Y concluimos. $$y_2<x_2+6-x_2=6$$

Creo que has hecho la parte difícil (que en realidad era encontrar R)

Answer 2

He aquí un enfoque alternativo.

Observe que $A = B \cap C$ donde $B= \{ (x,y) \in \mathbb R^2 :x^2 + y^2 >4 \}$ y $C=\{ (x,y) \in \mathbb R^2 : y < 6 \}$ . Como la intersección de dos conjuntos abiertos es abierta, basta con demostrar que $B$ y $C$ están abiertos.

También puede ser más fácil demostrar que $B^c$ y $C^c$ están cerrados.

Answer 3

Si $y_2\geq 6$ entonces $d(x,y)\geq y_2-x_2\geq 6-x_2\geq R$ ,

Answer 4

$$\begin{align} 6-x_2 &= 6 - y_2 + (y_2 - x_2)\\ &\le 6 - y_2 + |y_2 - x_2|\\ &\le 6 - y_2 + d\big((y_1,y_2),(x_1,x_2)\big)\\ &< 6 - y_2 + |x_2 - 6|\\ \end{align}$$

Esto implica $$6 - y_2 > 6 - x_2 - |x_2 - 6| \ge 6 - x_2 - (6 - x_2) = 0$$ así que $y_2 < 6$ .