División de los primos en la extensión ciclotómica del campo cuadrático

Question

Dejemos que $n$ sea un número entero positivo. Es bien sabido que un primo racional $p$ se divide en el $n$ el campo ciclotómico $\mathbb{Q}(\zeta_n)$ si y sólo si $p \equiv 1 \bmod n$ . Estoy tratando de entender lo que sucede si reemplazamos $\mathbb{Q}$ con un campo cuadrático, precisamente:

Dado un campo cuadrático $F = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ con $d$ entero libre de cuadrados, que ideales primos $P$ del anillo de enteros $O_F$ dividido completamente en $F(\zeta_n)$ ?

Supongo que es crucial entender el polinomio mínimo $f$ de $\zeta_n$ en $F$ . Por supuesto $f$ es un divisor del $n$ el polinomio ciclotómico $\Phi_n$ pero la caracterización de cuando $\Phi_n$ es reducible en $F$ no parece trivial (véase [1]). Tal vez se me escapa alguna forma fácil...

Gracias por cualquier sugerencia.

[1] Weisner, Quadratic Fields in Which Cyclotomic Polynomials are Reducible, Annals of Mathematics (1928) ( http://www.jstor.org/stable/1968008?seq=1#page_scan_tab_contents )

Answer 1

A menos que $F$ es un subcampo de $\Bbb Q(\zeta_n)$ entonces $\Phi_n$ sigue siendo irreducible sobre $F$ .

Si $\frak p$ es un ideal primo de $\frak o$ el anillo de enteros de $F$ y $|\mathfrak{o/p}|=q=p^r$ entonces mientras $p\nmid n$ , el ideal $\mathfrak p$ se separa completamente $F(\zeta_n)$ si $q\equiv1\pmod n$ .