n-ésimo número primo es menor que $4^n$

Question

Demostrar que $\forall n \in \mathbb{N}^*, P_n \lt 4^n$ donde $P_n$ $n$ésimo número primo. Estoy buscando una prueba de que no utiliza la inducción y sólo utiliza los conceptos elementales de la teoría de números.

Este teorema aparece en un viejo libro de francés en Aritmética destinado a la escuela de alto nivel de los estudiantes (liceo). Se introdujo inmediatamente después de que el concepto de descomposición en factores primos. El libro incluye una prueba de que yo no entendía. Usted puede ver a continuación una captura de pantalla tomada del libro y un intento de traducción.

Teorema de Para todos los enteros $n \gt0,$ $nth$ primer número $q$ verifica la desigualdad $q \lt 4^n$.

Demostración El $[1,q]$ intervalo se incluye en el conjunto de los números enteros $k$ que puede ser escrito, (después de que la agrupación de todas las plazas que se pueden formar con los $n$ números primos $p_i \le q $ en una descomposición de la $k$)$k = m^2p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_n^{e_n}$$e_i \in {0,1}$. (Aquí, $p_i$ es el i-ésimo número primo, y $p_n = q$.). No hay más que $\sqrt{q}$ enteros como m, y en la mayoría de las $2^n$ opciones para los exponentes $e_i$, lo que muestra que a $q$, el cardenal de este conjunto, es estrictamente menor que el del producto $2^n\sqrt{q}$, entonces el resultado.

Answer 1

La prueba se administra en su libro es muy bonito y primaria (sin duda más elemental que el postulado de Bertrand, dejar solo el teorema de los números primos), así que voy a parafrasear aquí. La idea clave es que hay un montón de números que han salido a se pueden expresar como productos de números primos (o de los números primos y de los cuadrados, en esta prueba), y esto se convierte en imposible si hay muy pocas óptimas a utilizar.

Deje $q$ el valor del $n$th prime. Tenga en cuenta que cada número entero puede ser escrito (exclusivamente) como una plaza veces un producto de distintos números primos. (Esto viene a partir de su descomposición en factores primos; por ejemplo, $2^7 \cdot 3^5 \cdot 7^4 \cdot 11^2 \cdot 13 = (2^3 \cdot 3^2 \cdot 7^2 \cdot 11)^2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13$. Permitimos que la plaza para ser $1^2$ cuando sea necesario, por ejemplo,$35 = 1^2 \cdot 5 \cdot 7$, y del mismo modo para que no haya adicional de los números primos, por ejemplo,$36 = 6^2$.)

Así que vamos a expresar cada número entero entre $1$ $q$ de esta manera. Para cada entero $k$ en este rango, se obtiene un cuadrado y un conjunto de números primos. La plaza debe ser en la mayoría de las $q$ (o más $k$ sería mayor que $q$), por lo que hay en la mayoría de las $\sqrt q$ opciones posibles para él, es decir,$1^2, 2^2, \dots, \lfloor \sqrt q \rfloor^2$. Cada uno de los números primos también debe ser en la mayoría de las $q$, por lo que debe ser elegido de entre los primeros a $n$ primos, dándonos $2^n$ opciones posibles para un subconjunto. Por lo que hay en la mayoría de las $\sqrt q \cdot 2^n$ números que pueden escribirse en esta forma muy concreta. Pero espera: simplemente escribimos $q$ números diferentes en este formulario. Así que debe ser que $q \leq \sqrt q \cdot 2^n$, que se simplifica a $\sqrt q \leq 2^n$ e lo $q \leq 4^n$.

Answer 2

No creo que usted puede encontrar una prueba de que realmente no uso de la inducción, pero tenga en cuenta:

"Chebyshev dicho, y lo diré de nuevo: siempre hay un primer entre el$n$$2n$."

Answer 3

Una vez le pregunté a esta pregunta , que básicamente dice $$\sqrt{p_n}<n$$ o $$\ln{p_n}<\sqrt{p_n}<n<n\ln{4} \Rightarrow \ln{p_n} < n\ln{4}\Rightarrow p_n < 4^n$$

Answer 4

Es bien conocido que $$p_n < n\log n$$ el lado derecho de esta ecuación crece mucho más lento de lo $n^2$ que crece mucho más lento de lo $4^n$