Ayuda para encontrar el residuo de $1/(z^8+1)$

Question

Ayuda para encontrar el residuo de $1/(z^8+1)$

Yo soy la integración de más de $\{ Re^{it} | 0 \leq t \leq \pi \}$, y me encontré con 4 simples postes en $z_0=e^{in\pi/8}$ donde $n = 0,...,3$ y estoy tratando de calcular $res(1/(z^8+1),z_0)$ el cálculo de este: $$\lim_{z\to z_0} (z-z_0)f = \lim_{z\to z_0}\frac{z-z_0}{1+z^8},$$ ahora hay álgebra trucos que puedo hacer para simplificar esto?

Answer 1

Usted no necesita un factor $z^8+1$. La función de $f(z)=\frac{1}{z^{8}+1}$ 8 polos simples $z_{k}$, $k\in\left\{ 0,1,2\ldots ,7\right\} $, que son los ceros de la ecuación de $z^{8}+1=0\Leftrightarrow z^{8}=-1$, es decir, los números complejos $z_{k}=e^{i\left( \pi +2k\pi \right) /8}=e^{i\left(2k+1 \right)\pi /8}$ (y no $z_{k}=e^{i k\pi /8}$ que calcula).

( ... ) ¿hay alguna álgebra trucos que puedo hacer para simplificar esto?

Debido a que el numerador de $f(z)$$1$, el residuo de $\mathrm{Res}\left( f(z);z_{k}\right) $ reduce a la inversa de la derivada de la denominador en $z=z_{k}$

\begin{equation*} \mathrm{Res }\left( f(z);z_{k}\right) =\frac{1}{\left. \frac{d}{dz} \left( z^{8}+1\right) \right\vert _{z=z_{k}}}=\frac{1}{8z_{k}^{7}}=\frac{1}{ 8e^{i7\left( 2k+1\right) \pi /8}},\tag{1} \end{ecuación*} porque cuando $f$ es de la forma $f(z)=\frac{p(z)}{q(z)}$, donde tanto el numerador y el denominador son funciones de análisis, la siguiente igualdad tiene

\begin{equation*} \mathrm{Res}\left( f(z);z_{k}\right) =\frac{p(z_{k})}{q^{\prime }(z_k)} ,\tag{2} \end{ecuación*} siempre que $z_{k}$ es un simple polo de $f(z)$$p(z_{k})\neq 0$, $ q(z_{k})=0$, $p'(z_{k})\neq 0$. (Teorema 2 de la sección 69 de Variables Complejas y Aplicaciones / J. Brown y R. Churchill, Internacional, ed. 2003, McGraw-Hill).

AGREGÓ 2. Por ejemplo, $$\mathrm{Res}\left( f(z);z_{0}\right)=\frac{1}{8}e^{-i7\pi /8}=-\frac{1}{8}\cos \frac{\pi }{8}-i\frac{1}{8}\sin \frac{\pi }{8}=-\frac{1}{16}\sqrt{2+\sqrt{2}}-\frac{1}{16}i\sqrt{2-\sqrt{2}}.$$ AÑADIDO. La agrupación de los residuos con la igualdad de immaginary parte y simétrica de la parte real, cada uno de los dos siguientes importes se convierte en imaginario puro, y, respectivamente, una función de $\sin\frac{\pi}{8}$$\sin\frac{3\pi}{8}$:

\begin{eqnarray*} \mathrm{Res }\left( f(z);z_{0}\right) +\mathrm{Res }\left( f(z);z_{3}\right) &=&\frac{1}{8e^{i7\left( 1\right) \pi /8}}+\frac{1}{8e^{i7\left( 7\right) \pi /8}} \\ &=&\frac{1}{8e^{i7\pi /8}}+\frac{1}{8e^{i\pi /8}}=-\frac{1}{8}\left( e^{i\pi /8}+e^{i7\pi /8}\right) \\ &=&-\frac{1}{8}\left( i2\sin \frac{\pi }{8}\right) =-\frac{1}{8}i\sqrt{2-\sqrt{2}}, \end{eqnarray*}

y

\begin{eqnarray*} \mathrm{Res }\left( f(z);z_{1}\right) +\mathrm{Res }\left( f(z);z_{2}\right) &=&\frac{1}{8e^{i7\left( 3\right) \pi /8}}+\frac{1}{8e^{i7\left( 5\right) \pi /8}} \\ &=&\frac{1}{8e^{i5\pi /8}}+\frac{1}{8e^{i3\pi /8}}=\cdots \\ &=&-\frac{1}{8}\left( i2\sin \frac{3\pi }{8}\right) =-\frac{1}{8}i\sqrt{2+ \sqrt{2}}. \end{eqnarray*}

La incorrecta real integral de la $I=\int_{-\infty }^{\infty }\frac{1}{x^{8}+1}dx$ evalúa a \begin{eqnarray*} I &=&2\pi i\sum_{k=0}^{3}\mathrm{Res }\left( f(z);z_{k}\right) =2\pi i\left( -\frac{1}{8}i\sqrt{2-\sqrt{2}}-\frac{1}{8}i\sqrt{2+\sqrt{2}} \right) \\ &=&2\pi i\left( -\frac{1}{8}i\sqrt{4+2\sqrt{2}}\right) =\frac{\pi }{4}\sqrt{ 4+2\sqrt{2}}. \end{eqnarray*}

Answer 2

$$z^8+1=(z-i^{\frac{1}{8}})(z+i^{\frac{1}{8}})(z-i^{\frac{3}{8}})(z+i^{\frac{3}{8}})(z-i^{\frac{5}{8}})(z+i^{\frac{5}{8}})(z-i^{\frac{7}{8}})(z+i^{\frac{7}{8}})$$ $$Res_{z=\sqrt[8]i}= \lim_{x\to\sqrt[8]i}\dfrac{(z-\sqrt[8]i)}{(z-i^{\frac{1}{8}})(z+i^{\frac{1}{8}})(z-i^{\frac{3}{8}})(z+i^{\frac{3}{8}})(z-i^{\frac{5}{8}})(z+i^{\frac{5}{8}})(z-i^{\frac{7}{8}})(z+i^{\frac{7}{8}})} =\lim_{z\to\sqrt[8]i}\dfrac{(z-i^\frac{1}{8})}{(z-i^{\frac{1}{8}})(z+i^{\frac{1}{8}})(z-i^{\frac{3}{8}})(z+i^{\frac{3}{8}})(z-i^{\frac{5}{8}})(z+i^{\frac{5}{8}})(z-i^{\frac{7}{8}})(z+i^{\frac{7}{8}})} =\lim_{z\to\sqrt[8]i}\dfrac{1}{(z+i^{\frac{1}{8}})(z-i^{\frac{3}{8}})(z+i^{\frac{3}{8}})(z-i^{\frac{5}{8}})(z+i^{\frac{5}{8}})(z-i^{\frac{7}{8}})(z+i^{\frac{7}{8}})} =-\frac{i^\frac{1}{8}}{8}$$. Ahora aplica el mismo procedimiento para las otras singularidades.