Vector de Paquetes y Distribuciones

Question

¿Cómo puedo mostrar que la siguiente: Si $F\subseteq TM$ es una distribución lineal, a continuación, $F$ es vector paquete y la inclusión $F\hookrightarrow TM$ es una de morfismos de vector haces?

Answer 1

El uso de @Steve 's idea me hizo un boceto, pero no sé si eso está bien: Supongamos $F$ es el rango $k$ distribución. Considere la posibilidad de la proyección $\pi:F\rightarrow M$, $F_p\mapsto p$, donde $F_p\subseteq T_pM$. Vamos a mostrar a $(\pi, F, M)$ es un rango de $k$ vector paquete:

(i) La fibra $\pi^{-1}(p)=F_p$ $k$- espacio vectorial de $F$ es un rango de $k$ distribución.

(ii) Desde $F$ es suave determinado $p\in M$ hay una vecindad $U\subseteq M$ contiene $p$ tal que $$F_q=\sum_{i=1}^k\alpha_iX_i(q),$$ for smooth vector fields (which are smooth sections of $TM$) $$X_1, \ldots, X_k\in \mathfrak{X}(U),$$ and scalars $\alpha_1, \ldots, \alpha_k$. Define, $$\phi:\pi^{-1}(U)\rightarrow U\times \mathbb R^k,$$ setting $$E_q=\sum_{i=1}^k\alpha_iX_i(q)\mapsto (q, x),$$ where $x=(\alpha_1, \ldots, \alpha_k)\in\mathbb R^k$. I guess $\phi$ define de esta manera proporcionará me diffeomorphism, pero yo no demostrar que sin embargo, lo que usted piensa @Steve y @Federica?

Answer 2

$F$ siendo un suave medios de distribución por definición (según el estándar de la mayoría de las referencias):

en primer lugar, la fibra $F(m)$ $k$- dimensiones subespacio del espacio de la tangente $TM(m)=T_mM$, para algún entero global $k$,

y segundo, que dado un punto de $m \in M$ hay un barrio $U$ $M$ y secciones suaves $f_1,\dots,f_p$ $TM$ de manera tal que la fibra de $F(u)$ sobre cualquier $u \in U$ es distribuido por $f_1(u),\dots,f_p(u)$.

Fix $m \in M$. Elija $f_1,\dots,f_k$ tal que $f_1(m),\dots,f_k(m)$ son una base para la fibra $F(m)$. En las coordenadas, la condición de que $f_1(u),\dots,f_k(u)$ son linealmente independientes, se expresa en términos de un factor determinante que es continua en a $u$. Esto significa que son linealmente independientes en un barrio de $m$ (ya que están en $m$) y, por tanto, dar una base de $F(u)$ por cada punto de $u$ en un barrio de $m$. Cubierta $M$ por los barrios de este tipo, y el uso de la correspondiente $f_1, \dots, f_k$ construir un gráfico en cada barrio.