La integración del Área bajo una curva

Question

Yo estaba trabajando en un equipo de proyecto de programación que consiste en dibujo 2D en el sistema operativo windows. Me estaba mostrando las curvas de uso de simples fórmulas matemáticas, y estaba pensando en llenar la parte de debajo de una curva.

Que se requiere para dibujar líneas rectas de x a y. Entonces, yo estaba pensando, la generalización de estas líneas conforman el área bajo la curva, que es claramente lo que es una integral en las matemáticas, pero yo no era capaz de explicar una cosa.

La longitud de las líneas es la de y correspondientes, por lo que, básicamente, me sería de suma: y1 + y2 + y3 + ...

Así que, si tengo un gráfico de y = x, la suma es:

1 + 2 + 3 + . . .

La fórmula para esta suma es claramente ((x * x) + x) / 2, y no (x * x) / 2. No lo entiendo, porque las leyes de la integración nos dicen que la integral de la x^n es (x ^ (n+1)) / (n+1). Cómo es eso?

Answer 1

Quizás esta cifra le ayudará a

Lo que estamos haciendo es la adición de alturas de las líneas verticales de color azul en la izquierda, lo que evidentemente no es el área bajo la curva azul!

Imagine que usted divida el intervalo de $[0, x]$ a $N$ piezas de cada tamaño

$$ \Delta = \frac{x}{N} $$

El $x$ coordenadas de cada rectángulo en la figura de la derecha puede ser etiquetado con el número de $x_i = \Delta i$. El área de cada rectángulo es

$$ A_i = (x_{i + 1} - x_i) y_i = \Delta x_i = \Delta^2 i $$

De modo que el área total es de

$$ A_N = \sum_{i=1}^N A_i = \sum_{i=1}^N \Delta x_i = \frac{x^2}{N^2} \sum_{i=1}^N i = \frac{x^2}{N^2}\frac{N(N+1)}{2} = \frac{x^2}{2} \left(1 + \color{blue}{\frac{1}{N}}\right) \etiqueta{1} $$

Mira el plazo $\color{blue}{1/N}$, mayor número $N$ menor $1/N$. En el límite cuando $N\to\infty$ este número es cero, y el área converge a

$$ \lim_{N\to\infty}A_N = A = \frac{x^2}{2} \etiqueta{2} $$