Cubrir una esfera con tapones esféricos

Question

Considere la $n-1$ esfera unitaria dimensional incrustada en $\mathbb{R}^n$ . Por ejemplo, cuando $n=3$ la esfera se caracteriza por $x_1^2+x_2^2+x_3^2=1$ . Defina un punto especial como un punto cuyas coordenadas son todas cero excepto una coordenada que es $1$ o $-1$ . Por ejemplo, si $n=3$ Hay seis puntos especiales: $(1,0,0)$ , $(-1,0,0)$ , $(0,1,0)$ , $(0,-1,0)$ , $(0,0,1)$ , $(0,0,-1)$ . En general, hay $2n$ puntos especiales en $\mathbb{R}^n$ .

Consideremos un casquete esférico centrado en cada punto especial. Entonces hay $2n$ tapas también. Supongamos que todas las tapas tienen la misma altura $h$ . Estoy interesado en encontrar el más pequeño $h$ tal que permita que estas tapas cubran completamente la esfera.

Gracias.

Golabi

Answer 1

Suponiendo que se mide la altura a lo largo del eje de coordenadas correspondiente, $1-\frac{1}{\sqrt{n}}$ . Porque tienes que ser al menos $1/\sqrt{n}$ en alguna dirección desde el centro para llegar a la esfera.

Debo añadir que si se mide la "altura" a lo largo de un gran círculo, es el arcocoseno de $1/\sqrt{n}$ .

Answer 2

Consideremos el cubo con vértices $(\pm 1, \ldots ,\pm 1)$ en $\mathbb{R}^n$ . Se inscribe en la esfera de radio $\sqrt{n}$ centrado en el origen. Obsérvese que si consideramos los hiperplanos paralelos a las caras del cubo entonces las tapas correspondientes de la esfera cubren toda la esfera (si se corta la esfera a lo largo de esos planos se queda el cubo). Sin embargo, si tomamos los topes más altos que las caras entonces los vértices del cubo quedan fuera. La proporción que queremos $$\frac{\text{ height of cap}}{\text{ radius of sphere} }= \frac{\sqrt{n}-1}{\sqrt{n}}=1- \frac{1}{\sqrt{n}}$$ como la respuesta anterior