Sobre la irreductibilidad de un polinomio que casi satisface el Criterio de Eisenstein

Question

Deje que $f(x)=c_nx^n+c_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +c_1x+c_0$ ser un polinomio en $ \mathbb {Z}[x]$ de tal manera que para algunos primos $p$ tenemos $p$ no divide $c_n$ , $p$ no divide $c_{n-1}$ , $p$ se dividen entre sí $c_i$ y $p^2$ no divide $c_0$ . Demuestra que $f$ es irreducible en $ \mathbb {Q}$ si y sólo si no existe un número racional $a/b$ de tal manera que $f(a/b)=0$ .

El $ \Rightarrow $ la dirección es sencilla. No estoy seguro de cómo abordar la $ \Leftarrow $ dirección. Claramente, el polinomio $g(x)=c_{n-1}x^{n-1}+ \cdots +c_1x+c_0$ es irreducible según los criterios de Eisenstein usando $p$ . Sin embargo, extender esto parece ser un desafío. He jugado con la conexión $a/b$ para mostrar que $f(a/b) \neq0 $ es irreducible, pero no llegó muy lejos. También intentó un argumento inductivo sobre el grado del polinomio, pero no vio cómo argumentar el grado por encima de 3. He considerado la afirmación contrapositiva, pero no sé de ninguna condición necesaria para la reductibilidad que implique una raíz racional. Si hay alguna sugerencia sobre cómo abordar esto, sería muy apreciada. No se requiere una solución completa.

Answer 1

Supongamos que $f$ es reducible.

Entonces..,

$c_n x^n+c_{n-1}x^{n-1}+...+c_1x+c_0=(d_s x^s+...+d_1x+d_0)(e_tx^t+...+e_1x+e_0)$

Sin pérdida de generalidad, supongamos $p \not\mid e_0$ . Deje que $i>0$ ser el número entero mínimo de tal manera que $p \not\mid d_i$ tal $i$ debe existir, ya que de lo contrario $p$ divide todos los $d_j$ y luego, $p$ divide todo $a_j$ .

Reclamar: $p \not \mid a_i$ y $p \mid a_j$ para cada $j<i$ .

Prueba de reclamación: $a_i=d_i e_0+d_{i-1} e_1+...+d_0 e_i$ y $p \mid d_{i-1} e_1+...+d_0 e_i$ pero $p \not\mid d_i e_0$ . Por lo tanto, $p \not\mid a_i$ . Para $j<i$ , $a_j=d_je_0+...d_0e_j$ así que $p \mid d_j$ .

Así que sabemos que $i=n-1$ como $p$ divide $a_j$ para todos $j<n-1$ . En particular, aprendemos que $s \geqslant n-1$ . Así que.., $e_tx^t+...e_1x_1+e_0$ es un factor constante si $s=n$ o un factor lineal si $s=n-1$ . (El primer caso puede ser ignorado ya que eso no nos da una factorización no trivial.) Así que