Si $G,H$ son grupos y $H$ no es baladí entonces $G \times H \ncong G$

Question

Mi instinto me dice que esta debe ser cierto, y espero que no hay ningún extraño contraejemplos. Si $G,H$ son grupos e $H$ no es trivial, entonces creo que $G \times H \ncong G$ (es decir, $G \times H$ no es isomorfo a $G$). Seguramente esto es cierto? Hay un elemental de la teoría basada en el argumento de que no estoy viendo?

Answer 1

Esto es falso. Por ejemplo, supongamos $H$ ser cualquier grupo no trivial y deje $G=H^\mathbb{N}$, un infinito producto de copias de $H$. A continuación,$G\times H\cong G$, ya que la adición de una copia más de $H$ a que el producto no cambiar el número de copias.

Answer 2

Deje $H$ ser no trivial grupo, y $G=\prod_{n=1}^\infty H$. A continuación,$G\times H\cong G$.

Answer 3

Como otros han señalado, la afirmación es falsa. Sin embargo, si $G$ puede ser expresado como un número finito de producto directo de grupos de cada uno de los cuales es en sí mismo indecomposable (es decir, no puede ser expresado como un no-trivial producto directo), entonces la afirmación es verdadera por la Krull-Schmidt Teorema (que no es el fruto más evidente en el mundo), por lo que difícilmente podría llamar a esta primaria, incluso en ese caso.

Answer 4

En aras de la exhaustividad, quiero agregar algo.

Todos los contraejemplos que se mencionan aquí eran infinitamente generados; pero lo que si tanto $G$ $H$ son finitely generado? Usted diría que es completamente imposible para f. g. grupo isomorfo a su propia plaza, pero resulta que casi todo lo que no sea trivial declaración acerca de todos los f. g. grupos es falso - David Meyer construido un ejemplo de finitely generado grupo $G$ tal que $G \cong G \times G$, https://doi.org/10.1112/jlms/s2-26.2.265 5 años más Tarde Gilbert Baumslag construido un ejemplo de finitely presentada grupo isomorfo a su plaza. (G. Baumslag, C. F. Miller III, de Alguna extraña finitely presentado los grupos).