¿Alguien podría darme un ejemplo de una línea de tiempo temporal en el espacio-tiempo de Minkowski que es inexplicable (por lo que se extenderá hasta el infinito) y tiene una longitud finita? Estoy pensando que será algo que se parece al movimiento hiperbólico, pero que no tiene una aceleración fija.
Respuesta
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He aquí un ejemplo simple : tomar una timelike curva con unbounded de la aceleración en un tiempo finito. Para ello, considere la posibilidad de una curva con la aceleración
$$\|\ddot\gamma(\tau)\| = \alpha(\tau)^2$$
Pero todavía timelike :
$$\|\dot\gamma(\tau)\| = -1$$
De modo que las ecuaciones son
\begin{eqnarray} \ddot{x}^2(\tau) - \ddot{t}^2(\tau) &=& \alpha(\tau)^2\\ \dot{x}^2(\tau) - \dot{t}^2(\tau) &=& -1 \end{eqnarray}
El cambio a null coordenadas, esto nos da
\begin{eqnarray} \ddot{u}(\tau) \ddot{v}(\tau) &=& \alpha(\tau)^2\\ \dot{u}(\tau)\dot{v}(\tau) &=& -1 \end{eqnarray}
Esto significa que $\dot{u} = -\dot{v}^{-1}$, lo que nos da la relación
$$(\frac{\ddot{v}}{\dot{v}})^2 = \alpha(\tau)^2$$
Hay un par de posibles soluciones a este (que va a corresponder a varios el tiempo y el espacio de la orientación de la curva), pero vamos a escoger uno en donde todo es positivo,
$$\ddot{v} - \alpha(\tau)\dot{v} = 0$$
Este es un sistema bastante sencillo de resolver, con la solución
\begin{eqnarray} \dot v(\tau) &=& A \exp({\int_1^{\tau} \alpha(\xi) d\xi})\\ \dot u(\tau) &=& A^{-1} \exp({-\int_1^{\tau} \alpha(\xi) d\xi}) \end{eqnarray}
o, en coordenadas Cartesianas,
\begin{eqnarray} \dot t(\tau) &=& \sinh(\int_1^{\tau} \alpha(\xi) d\xi)\\ \dot x(\tau) &=& \cosh(\int_1^{\tau} \alpha(\xi) d\xi) \end{eqnarray}
Una forma muy sencilla sin límites de la aceleración en un tiempo finito es simplemente la selección de $\alpha = \tan(\tau)$, que divergen de $\tau = \pi/2$. Esto nos da
\begin{eqnarray} \dot t(\tau) &=& \sinh(-\ln(\cos(\tau)))\\ \dot x(\tau) &=& \cosh(-\ln(\cos(\tau))) \end{eqnarray}
El tiempo de coordenadas se puede calcular explícitamente :
\begin{eqnarray} t(\tau) &=& \int \sinh(-\ln(\cos(\tau))) d\tau \\ &=& \frac 12 (- \sin (\tau) - \ln( \cos(t/2) - \sin(t/2) )) + \ln( \cos(t/2) + \sin(t/2) ) \end{eqnarray}
que tiende a $-\ln(0) / 2$$\tau = \pm \pi/2$.
Esta curva no tiene punto final. Puede ser demostrado por considerar que si hubiera un extremo termina en $\tau_b$, habría un neighbourgood donde $\gamma(\tau_b + d\tau)$ pertenece. Acaba de hacer algunos arbitrariamente pequeño barrio en torno a ese punto $(t_a, t_b) \times (x_a, x_b)$. Desde $t(\tau_b)$ es estrictamente creciente y divergente, no puede haber extensión de la curva.
El total de tiempo apropiado de la curva es sólo $\pi$ entonces.
